沈阳二中20152016学年度下学期期末考试高一数学试卷答案

1沈阳二中2015—2016学年度下学期期末考试高一（18届）数学试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.如果θ是第一象限角，那么下列不等式恒成立的是()A．sinθ20B．tanθ21C．sinθ2cosθ2D．sinθ2cosθ22.函数y＝|sinx|sinx＋cosx|cosx|＋|tanx|tanx的值域是()A．{1，－1}B．{－1，1，3}C．{－1，3}D．{1，3}3.若sinθ＋cosθ＝55，θ∈[0，π]，则tanθ＝()A．－12B.12C．－2D．24.已知tanθ＝2，则2sin2θ＋sinθ·cosθ－cos2θ＝()A．－43B．－65C.45D.955.如果函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－π8对称，则实数a的值为()A.2B．－2C．1D．－16.函数f(x)＝Asinωx(A0，ω0)的部分图像如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)的值为()A．0B．32C．62D．－27.已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝()A．－43B.43C．－43或0D.43或08.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中AP→＝λAB→＋μAE→.下列叙述正确的是()A．满足λ＋μ＝2的点P必为BC的中点B.满足λ＋μ＝1的点P有且只有一个C．λ＋μ的最大值为32D．λ＋μ的最小值不存在9.在△ABC中，若3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，则角C为()A．30°B．30°或150°C．150°D．60°10.在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin（n＋1）π2，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014＝()A．0B．2014C．1008D．100711.已知an＝n－2015n－2016(n∈N*)，则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是()A．a1，a50B．a1，a44C．a45，a50D．a44，a4512.对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都有xn＋xn＋22xn＋1成立，则称数列{xn}为“减差数列”．设bn＝2t－tn－12n－1，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，则实数t的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(1，＋∞)D．(－∞，1]第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设数列{an}的通项公式为an＝1n＋n＋1，则10－3是此数列的第____项．14.已知数列na中，12a,1231nnnaa,则数列na的通项公式na15.函数y＝(sinx－2)(cosx－2)的最大值是________．16.已知sinx＋siny＝13，则siny－cos2x的最大值是________．三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数f(x)＝cos(2x－π3)＋sin2x－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及图像的对称轴方程；(2)设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)，求g(x)的值域．18.（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝22cos(x＋π4)cos(x－π4)＋22sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)在图中给出的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像，并说明y＝f(x)的图像是由y＝sin2x的图像怎样变换得到的．320（本小题满分12分）已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an·12logna，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋150成立的正整数n的最小值．21.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝anan＋1，记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：－13Tn－n20.22.（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*)．(1)求证：数列{Sn－3n}是等比数列；(2)若{an}为递增数列，求a1的取值范围．4沈阳二中2015—2016学年度下学期期末考试高一（18届）数学试题答案一、选择题1.B2.C3.C4.D5.D6.A7.D8.C9.A10.C11.D12.C二、填空题13.914.31nna15.92＋2216.49三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解：(1)f(x)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin(2x－π6)，所以最小正周期T＝2π2＝π.由2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π3(k∈Z)，故函数f(x)图像的对称轴方程为x＝kπ2＋π3(k∈Z)．(2)g(x)＝[f(x)]2＋f(x)＝sin2(2x－π6)＋sin(2x－π6)＝[sin(2x－π6)＋12]2－14.当sin(2x－π6)＝－12时，g(x)取得最小值－14；当sin(2x－π6)＝1时，g(x)取得最大值2.所以g(x)的值域为[－14，2]．18.（本小题满分12分）解答(1)因为m∥n，所以asinB－3bcosA＝0，由正弦定理得sinAsinB－3sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝3，由于0Aπ，所以A＝π3.(6分)(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bcsinA＝332.(12分)19.（本小题满分12分）解(1)最小正周期T＝π，f(x)max＝2(2)先将y＝sin2x的图像向左平移π8个单位长度，得到y＝sin(2x＋π4)的图像，再将y＝sin(2x＋π4)的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到y＝2sin(2x＋π4)的图像．520（本小题满分12分）解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.依题意有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8，∴a2＋a4＝20，∴a1q＋a1q3＝20，a3＝a1q2＝8，解得q＝2，a1＝2或q＝12，a1＝32.又{an}是递增数列，∴q＝2，a1＝2，∴an＝2n.(2)∵bn＝2n·12logna＝－n·2n，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②①－②得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.Sn＋n·2n＋150，即2n＋1－250，∴2n＋152，故使Sn＋n·2n＋150成立的正整数n的最小值为5.21.（本小题满分12分）解：(1)因为Sn＝2an－n，所以当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，所以a1＝1.又Sn＋1＝2an＋1－n－1，得an＋1＝2an＋1－2an－1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，故an＝2n－1.(2)证明：因为bn＝anan＋1＝2n－12n＋1－1，所以bn－12＝－12n＋2－2，所以Tn－n2＝－123－2＋124－2＋…＋12n＋2－20，得Tn－n20.又12n＋2－2＝12n－2＋3·2n≤13·2n，所以Tn－n2≥－1312＋122＋…＋12n＝－13＋13·2n－13.所以－13Tn－n20.22.（本小题满分12分）解：(1)证明：∵an＋1＝Sn＋3n(n∈N*)，∴Sn＋1＝2Sn＋3n，∴Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)．又∵a1≠3，∴数列{Sn－3n}是公比为2，首项为a1－3的等比数列．(2)由(1)得，Sn－3n＝(a1－3)×2n－1，∴Sn＝(a1－3)×2n－1＋3n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a1－3)×2n－2＋2×3n－1.∵{an}为递增数列，∴当n≥2时，(a1－3)×2n－1＋2×3n＞(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，6∴2n－212×32n－2＋a1－30，∴a1＞－9.∵a2＝a1＋3＞a1，∴a1的取值范围是a1＞－9.