2018辽宁省沈阳市高三教学质量监测一数学理试题

2018年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）i231iiA．B．C．D．545454i54i2.设集合，，则（）{|1}Axx{|21}xBxA．B．{|0}ABxxABRC．D．{|0}ABxxAB3.命题“若，则”的逆否命题是（）0xy0xA．若，则B．若，则0xy0x0xy0xC．若，则D．若，则0xy0y0x0xy4.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数的值为（）xA．-3B．-3或9C.3或-9D．-9或-35.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C.D．33433212146.如图所示，络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C.D．43831633237.设满足约束条件，则的最大值是（）xy、2330233030xyxyy12zxyA．-15B．-9C.1D．98.若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法.A．4B．8C.12D．249.函数在的单调递增区间是（）22sin2sincos3cosyxxxx(0,)2xA．B．C.D．(0,)4(,)42(0,)8(,)8410.已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为22221(0,0)xyabab22(4)4xy（）A．2B．C.D．23333211.在各项都为正数的等比数列中，若，且，则数列的前项和是{}na12a1564aa1{}(1)(1)nnnaaan（）A．B．C.D．11121n1121n1121n1121n12.设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在()fxR(2)(2)fxfx[2,0]x2()()12xfx区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取(2,6)x()log(2)0afxx0a1aa值范围是（）A．B．C.D．1(,1)4(1,4)(1,8)(8,)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13.已知随机变量，若，则．2(1,)N(3)0.2P(1)P14.在推导等差数列前项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得n．222sin1sin2sin8915.已知正三角形（为坐标原点）的顶点在抛物线上，则的边长AOBOAB、23yxAOB是．16.已知是直角边为2的等腰直角三角形，且为直角顶点，为平面内一点，则ABCAPABC的最小值是．PAPBPC（）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，已知内角对边分别是，且.ABC,,ABC,,abc2cos2cBab（Ⅰ）求；C（Ⅱ）若，的面积为，求.6abABC23c18.如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且，PABCDPADABCDABCDPAPD.90APD（Ⅰ）证明：平面平面；PABPCD（Ⅱ）求二面角的余弦值.APBC19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：家251525占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别153515有关，构建了如下列联表.22在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅰ）请将列联表补充完整；试判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关；2295%（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为，求随机变量的分布列及期望.XX附：，其中.22()()()()()nadbckabcdacbdnabcd20()Pkk0.0500.0250.0100.0010k3.8415.0246.63510.82820.设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.OM22194xyMxNP2NPNM（Ⅰ）求点的轨迹方程；PE（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于(1,0)F1lPAB、(1,0)F1l2lP两点，求证：为定值.CD、11||||ABCD21.已知，.2()2xfxeaxxaR（Ⅰ）求函数图象恒过的定点坐标；()fx（Ⅱ）若恒成立，求的值；'()1fxaxa（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且.()fx0x012()4fx（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：极坐标与参数方程设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，以原点为极点，轴O22(4)16xyPMOPOx的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求点的轨迹的极坐标方程；MC（Ⅱ）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.A(3,)3BCOAB23.选修4-5：不等式选讲已知，，函数.0a0b()||||fxxaxb（Ⅰ）当，时，解关于的不等式；1a1bx()1fx（Ⅱ）若函数的最大值为2，求证：.()fx112ab试卷答案一、选择题1-5:BCDBB6-10:ACBCB11、12：AD二、填空题13.0.814.44.515.16.-163三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得2sincos2sinsinCBAB又sinsin()ABC∴2sincos2sin()sinCBBCB∴2sincos2sincos2cossinsinCBBCBCB∴2sincossin0BCB∴1cos2C又∴(0,)C23C（Ⅱ）由面积公式可得1sin232ABCSabC∴8ab2222coscababC222()28aabbabab∴27c法2：可解出或代入，∴.24ab42ab2222cos28cababC27c18.（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，∴.ABCDCDAD又∵平面平面，∴平面.PADABCDCDPAD又∵平面，∴.APPADCDAP∵，，∴平面.PDAPCDPDDAPPCD∵平面，∴平面平面.APPABPABPCD（Ⅱ）取的中点为，的中点为，连接ADOBCQ,POOQ易得底面，POABCDOQAD以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设O,,OAOQOPxyz正方形的边长为2，可得，，，(1,0,0)A(1,2,0)B(1,2,0)C(0,0,1)P设平面的一个法向量为APB1111(,,)nxyz而，(1,0,1)PA(1,2,1)PB即2200nPAnPB11111020xzxyz取得11x1(1,0,1)n设平面的一个法向量为BCP2222(,,)nxyz而，(1,2,1)PB(1,2,1)PC则即取得2200nPBnPC2222222020xyzxyz21y2(0,1,2)n121212cos,||||nnnnnn10011221052510由图知所求二面角为钝角故二面角的余弦值为.APBC105法2：若以为原点，建立空间直角坐标，如图，D不妨设正方形的边长为2可得面的法向量PAB1(1,0,1)n面的法向量PBC2(0,1,2)n121212cos,||||nnnnnn210525由图可得为钝角APBC∴余弦值为.10519.（Ⅰ）在家其他合计中国223355美国93645合计3169100∴22100(2236933)31695545K1001134.6283.8413123∴有的把握认为“恋家”与否与国别有关.95%（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，的可能取X值为0，1，2，，0223253(0)10CCPXC1123253(1)5CCPXC2023251(2)10CCPXC∴的分布列为XX013P31035110∴.3314()012105105EX20.解：（Ⅰ）设，易知，，(,)Pxy(,0)Nx(0,)NPy又因为，所以，1(0,)22yNMNP1(,)2Mxy又因为在椭圆上，所以，即.M22()1922xy22198xy（Ⅱ）当与轴重合时，，，1lx||6AB16||3CD∴.1117||||48ABCD当与轴垂直时，，，1lx16||3AB||6CD∴.1117||||48ABCD当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为1lx1l(1)(0)ykxk此时设，，，11(,)Axy22(,)Bxy33(,)Cxy44(,)Dxy把直线与曲线联立，1lE22(1)198ykxxy得，2222(89)189720kxkxk可得1212221220188997289kxxkkxxk∴，2221212248(1)||1()489kABkxxxxk把直线与曲线联立，2lE221(1)198yxkxy同理可得.22121222148(1)||1()498kCDxxxxkk∴.222211899817||||48(1)48(1)48kkABCDkk21.（Ⅰ）因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证，a0x此时，所以函数的图象恒过点.02(0)0201fea(0,1)（Ⅱ）依题意得：恒成立，∴恒成立.221xeaxax1xeax构造函数，()1xgxeax则恒过，，()=1xgxeax(0,0)'()xgxea①若时，，∴在上递增，0a'()0gx()gxR∴不能恒成立.1xeax②若时，，∴.0a'()0gxlnxa∵时，，函数单调递减；(,ln)xa'()0gx()1xgxeax时，，函数单调递增，(ln,)xa'()0gx()1xgxeax∴在时为极小值点，，()gxlnxa(ln)ln1gaaaa∴要使恒成立，只需.221xeaxaxln10aaa设，则函数恒过，()ln1haaa