2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点练习解析几何考点过关检测二十四解析

考点过关检测（二十四）1．(2019·马鞍山期末)已知椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)经过点(1，2)，离心率为22，过原点O作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于点A，C，直线l2交椭圆于点B，D，且|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝24.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：|k1k2|为定值．解：(1)由题意知2a2＋1b2＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆的方程为y24＋x22＝1.(2)证明：由对称性可知，四边形ABCD是平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x1，－y1)，D(－x2，－y2)，由y24＋x22＝1，得y2＝4－2x2，|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝2(|AB|2＋|DA|2)＝2[(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2]＝4(x21＋x22＋y21＋y22)＝4(x21＋x22＋4－2x21＋4－2x22)＝4×(8－x21－x22)＝24，所以x21＋x22＝2，|k1·k2|＝y1y2x1x2＝y21y22x21x22＝4－2x214－2x22x21x22＝16－8x21－8x22＋4x21x22x21x22＝2，故|k1k2|为定值2.2．(2019·绵阳诊断)已知点E(－2,0)，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(2,0)，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABE的周长为12.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点N，已知NA→＝mAF→，NB→＝nBF→，求m＋n的值．解：(1)由题意知，E为椭圆的左焦点，∴|AB|＋|AE|＋|BE|＝|AF|＋|BF|＋|AE|＋|BE|＝4a＝12，解得a＝3，又c＝2，故b2＝a2－c2＝9－4＝5，∴椭圆C的方程为x29＋y25＝1.(2)由题知F(2,0)，若直线AB恰好过原点，则A(－3,0)，B(3,0)，N(0,0)，∴NA→＝(－3,0)，AF→＝(5,0)，则m＝－35，NB→＝(3,0)，BF→＝(－1,0)，则n＝－3，∴m＋n＝－185.若直线AB不过原点，设直线AB：x＝ty＋2，t≠0，A(ty1＋2，y1)，B(ty2＋2，y2)，N0，－2t.则NA→＝ty1＋2，y1＋2t，AF→＝(－ty1，－y1)，NB→＝ty2＋2，y2＋2t，BF→＝(－ty2，－y2)，由NA→＝mAF→，得y1＋2t＝m(－y1)，从而m＝－1－2ty1；由NB→＝nBF→，得y2＋2t＝n(－y2)，从而n＝－1－2ty2，故m＋n＝－1－2ty1＋－1－2ty2＝－2－2t1y1＋1y2＝－2－2t×y1＋y2y1y2.联立x＝ty＋2，x29＋y25＝1，整理得(5t2＋9)y2＋20ty－25＝0，∴y1＋y2＝－20t5t2＋9，y1y2＝－255t2＋9，∴m＋n＝－2－2t×y1＋y2y1y2＝－2－2t×20t25＝－2－85＝－185.综上所述，m＋n＝－185.3．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝x12，y1，n＝x22，y2，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－14；(2)试探求△POQ的面积是否为定值，并说明理由．解：(1)证明：∵k1，k2存在，∴x1x2≠0，∵m·n＝0，∴x1x24＋y1y2＝0，∴k1·k2＝y1y2x1x2＝－14.(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由y1y2x1x2＝－14，得x214－y21＝0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得x214＋y21＝1，∴|x1|＝2，|y1|＝22，∴S△POQ＝12|x1|·|y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．由y＝kx＋b，x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)0，∴x1＋x2＝－8kb4k2＋1，x1x2＝4b2－44k2＋1.∵x1x24＋y1y2＝0，∴x1x24＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ0.∴S△POQ＝12·|b|1＋k2·|PQ|＝12|b|x1＋x22－4x1x2＝2|b|·4k2＋1－b24k2＋1＝1.∴△POQ的面积为定值，且为1.4．(2019·沈阳模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点为F1，F2，离心率为12，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为3，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使OM→·ON→＝m时，点O到直线MN的距离为定值，并求这个定值．解：(1)依题意知c2＝a2－b2，bc＝3，ca＝12，解得a＝2，b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋n，则点O到直线MN的距离d＝|n|k2＋1＝n2k2＋1.联立x24＋y23＝1，y＝kx＋n消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，由Δ0得4k2－n2＋30，则x1＋x2＝－8kn4k2＋3，x1x2＝4n2－124k2＋3，所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m，整理得7n2k2＋1＝12＋m4k2＋3k2＋1.因为d＝n2k2＋1为常数，则m＝0，d＝127＝2217，此时7n2k2＋1＝12满足Δ0.当MN⊥x轴时，由m＝0得kOM＝±1，联立x24＋y23＝1，y＝±x消去y，得x2＝127，点O到直线MN的距离d＝|x|＝2217亦成立．综上，当m＝0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是2217.