2020新高考数学理二轮专题培优新方案主攻40个必考点课件三角函数与解三角形平面向量三

主攻40个必考点(三)三角恒等变换1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3解析：选Dtan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.2．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89解析：选B∵sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.故选B.3．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255解析：选B由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈0，π2，∴2sinα＝cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝55.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1解析：选B由cos2α＝23，得cos2α－sin2α＝23，∴cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝23，即1－tan2α1＋tan2α＝23，∴tanα＝±55，即b－a2－1＝±55，∴|a－b|＝55.故选B.5．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________.解析：tanα－5π4＝tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.答案：326．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．解析：f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2cos2x＋32cosx＋1＝－2cosx＋342＋178，因为－1≤cosx≤1，所以当cosx＝1时，函数f(x)取得最小值－4.答案：－4[把脉考情]考什么1.三角函数化简(诱导公式，同角三角函数基本关系等)2.三角函数的求值(给角求值、给值求值、给值求角)3.通过恒等变换研究三角函数的性质(化简三角函数解析式)考多深多以选择题或填空题的形式考查，属中等难度，有时会出现在解答题中化简函数解析式，分值为5～7分考多宽常与三角函数的图象、性质、解三角形问题综合考查，有时也与直线的斜率、导数结合考查，主要起到辅助性作用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养同角三角函数基本关系[典例1]已知tanα＝－13，则sinα＋2cosα5cosα－sinα＝()A.516B．－516C.716D．－716[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：切化弦因为tanα＝－13，所以cosα＝－3sinα，所以sinα＋2cosα5cosα－sinα＝sinα－6sinα－15sinα－sinα＝516.法二：弦化切因为tanα＝－13，所以sinα＋2cosα5cosα－sinα＝tanα＋25－tanα＝－13＋25＋13＝516.[答案]A[典例2](2019·华南师大附中模拟)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则cos2α＋12sin2α的值是()A.35B．－35C．－3D．3[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：平方关系法由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，整理得sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，结合上式解得sin2α＝45，cos2α＝15.所以cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α＋2cos2α＝3cos2α＝35.法二：弦化切法因为sinα＋3cosα3cosα－sinα＝tanα＋33－tanα＝5，解得tanα＝2.所以cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋tanαtan2α＋1＝1＋222＋1＝35.[答案]A增分方略平方关系看符号，齐次求值要化商(1)已知角的一个三角函数值，求其他三角函数值的关键是正确利用同角三角函数的平方关系式：sin2α＋cos2α＝1.该公式的作用是实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意角所在的象限，从而判断三角函数值的符号，避免产生多解或漏解．(2)同角三角函数商的关系式tanα＝sinαcosα的作用主要是用来求解齐次分式的值，常用到“1”的代换，即把整式视为分母为1的式子，进而转化为关于tanα的代数式进行计算．条件求值[典例3]已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝12，sin(α＋β)＝12，则sin(3α－β)＝()A．－12B.12C．－32D.32[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：利用3α－β＝2α＋(α－β)求解因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)＝120，sin(α＋β)＝120，所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，因此sin(α－β)＝－32，cos(α＋β)＝－32，所以sin2α＝sin(α－β＋α＋β)＝－32×－32＋12×12＝1.因为α为锐角，所以2α＝π2，所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝12.法二：利用3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)求解同法一可得，sin(α－β)＝－32，cos(α＋β)＝－32.所以cos[2(α－β)]＝2cos2(α－β)－1＝2×122－1＝－12，sin[2(α－β)]＝2sin(α－β)cos(α－β)＝2×－32×12＝－32.所以sin(3α－β)＝sin[2(α－β)＋(α＋β)]＝sin[2(α－β)]cos(α＋β)＋cos[2(α－β)]sin(α＋β)＝－32×－32＋－12×12＝12.[答案]B[典例4](2020届高三·福建百校联考)若α∈(0，π)，且3sinα＋2cosα＝2，则tanα2＝()A.32B.34C.233D.433[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：直接法由已知得cosα＝1－32sinα.代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋1－32sinα2＝1，整理得74sin2α－3sinα＝0，解得sinα＝0或sinα＝437.因为α∈(0，π)，所以sinα＝437，故cosα＝1－32×437＝17.所以tanα2＝sinα1＋cosα＝4371＋17＝32.法二：整体求值因为sinα＝2sinα2·cosα2，cosα＝1－2sin2α2，所以3sinα＋2cosα＝2可化为23sinα2·cosα2＋21－2sin2α2＝2，化简可得23sinα2·cosα2＝4sin2α2.①因为α∈(0，π)，所以α2∈0，π2，所以sinα2≠0.所以①式可化为23cosα2＝4sinα2，即tanα2＝32.[答案]A增分方略条件求值问题的解题策略给角求值一般给出的角都是非特殊角，解题关键是进行角的变换和式子结构的变换．变换思路：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项消去求值给值求值解题关键在于“变角”．把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围不确定时应分类讨论．应注意公式的灵活运用，还要会拆角、拼角等技巧给值求角[典例5]在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为277，点Q的纵坐标为3314，则2α－β的值为________．[一题多解](在发散思维中整合知识)由已知可知cosα＝277，sinβ＝3314.因为α，β为锐角，所以sinα＝217，cosβ＝1314.法一：先求角的正弦值，再求角因为cos2α＝2cos2α－1＝17，sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以02απ.又cos2α0，所以02απ2，又β为锐角，所以－π22α－βπ2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.法二：先求角的余弦值，再求角因为α，β为锐角，所以α－β∈－π2，π2.所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝217×1314－277×3314＝2114.所以sin(α－β)0，所以α－β∈0，π2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1－21142＝5714.又α∈0，π2，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝277×5714－217×2114＝12.所以2α－β＝π3.[答案]π3增分方略给值求角问题的解题策略“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在选取函数时，遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数．课下请完成“考点过关检测（三）”(单击进入电子文档)