2020版新高考二轮复习理科数学专项小测151719题二选一解析

专项小测(十五)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sin2A＋sin2B＝4sinAsinBcosC.(1)求角C的最大值；(2)若b＝2，B＝π3，求△ABC的面积．思路分析：(1)由sin2A＋sin2B＝4sinAsinBcosC推出cosC，然后借助基本不等式得出cosC的最小值，进一步得出角C的最大值；(2)将已知条件转化为2c2＝a2＋b2,4＝a2＋c2－2accosπ3，然后得出a＝c＝2，最后由公式S＝12acsinB求出面积．解：(1)由sin2A＋sin2B＝4sinAsinBcosC，得4cosC＝sinAsinB＋sinBsinA≥2，当且仅当sinAsinB＝sinBsinA时取等号．(3分)所以cosC≥12，所以0C≤π3.所以角C的最大值为π3，此时△ABC为正三角形．(5分)(2)由sin2A＋sin2B＝4sinAsinBcosC及正、余弦定理可得，a2＋b2＝4ab·a2＋b2－c22ab，所以2c2＝a2＋b2①.(7分)又b＝2，B＝π3，所以4＝a2＋c2－2accosπ3②.(9分)由①和②得a＝c＝2.所以△ABC的面积为12acsinπ3＝3.(12分)18．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为B1C1的中点，平面AA1D⊥平面AB1C1.(1)证明：B1C1⊥平面AA1D；(2)若AC＝2，BC＝22，且二面角B－AD－C的大小为π3，求AA1的长．思路分析：(1)作辅助线构造线面垂直，利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直；(2)利用勾股定理的逆定理得到线线垂直，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解．解：(1)如图，过点A1作A1O⊥AD于点O，∵平面AA1D⊥平面AB1C1，平面AA1D∩平面AB1C1＝AD，∴A1O⊥平面AB1C1.(2分)∵B1C1⊂平面AB1C1，∴A1O⊥B1C1.(3分)又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥B1C1，A1O∩A1A＝A1，∴B1C1⊥平面AA1D.(5分)(2)由(1)得，B1C1⊥A1D，∵D为B1C1的中点，∴A1B1＝A1C1＝AC＝2，又BC＝B1C1＝22，∴B1A21＋A1C21＝B1C21，∴∠C1A1B1＝π2.令AA1＝a，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1，a)，AB→＝(2,0,0)，AD→＝(1,1，a)，AC→＝(0,2,0)．(7分)设平面ADC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m·AD→＝0，m·AC→＝0，即x1＋y1＋az1＝0，2y1＝0，得y1＝0，令z1＝1，得m＝(－a,0,1)为平面ADC的一个法向量．(9分)设平面BAD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·AD→＝0，n·AB→＝0，即x2＋y2＋az2＝0，2x2＝0，得x2＝0，令z2＝1，得n＝(0，－a,1)为平面BAD的一个法向量．(11分)依题意，得|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|＝11＋a2＝12，得a＝1，即AA1的长为1.(12分)19．(12分)某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)进行分组，得到下列统计图．第一组第二组(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间少于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．思路分析：(1)由图表分别计算出两个车间生产一件产品时间少于75min的人数；(2)分别计算两个车间工人生产一件产品时间的平均值，从而得到结果；(3)X可取值为0,1,2.计算出相应的概率值，得到分布列与期望．解：(1)由题意得，第一组工人20人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有6人，∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为6×10＝60(人)．(2分)第二组工人40人.其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为30×10＝300(人)．(4分)(2)第一组平均时间为x甲＝60×2＋70×4＋80×10＋90×420＝78(min)，(5分)第二组平均时间为x乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)．(6分)∵x甲＞x乙，∴乙车间工人生产效率更高．(7分)(3)由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，从中抽取3人，其中生产时间少于65min的有2人，X可取值为0,1,2.P(X＝0)＝C02C34C36＝420＝15，(8分)P(X＝1)＝C12C24C36＝1220＝35，(9分)P(X＝2)＝C22C14C36＝420＝15，(10分)X的分布列为：X012P153515(11分)数学期望E(X)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4,0)，求△MPQ的面积．思路分析：(1)把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C1的直角坐标方程，可得曲线C1的极坐标方程，然后设出点B的极坐标，得点A的极坐标，代入即可得曲线C2的极坐标方程；(2)首先求出M到直线θ＝5π6的距离，然后分别求出射线与曲线C1，C2的交点坐标，从而求得|PQ|，进而求得三角形的面积．解：(1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得，曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sinθ.设B(ρ，θ)，则Aρ，θ－π2，则ρ＝6sinθ－π2＝－6cosθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cosθ.(5分)(2)M到直线θ＝5π6的距离为d＝4sin5π6＝2，射线θ＝5π6与曲线C1的交点P3，5π6，射线θ＝5π6与曲线C2的交点Q33，5π6，所以|PQ|＝33－3.故△MPQ的面积S＝12×|PQ|×d＝33－3.(10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋2m|的最大值为3，其中m＞0.(1)求m的值；(2)若a，b∈R，ab＞0，a2＋b2＝m2，求证：a3b＋b3a≥1.思路分析：(1)分段讨论，根据函数解析式求解函数的最大值，即得m的值；(2)将所求式子通分转化为只含有ab的式子，将ab视为一个整体，构造函数，根据函数的单调性求最值即可证明．解：(1)∵m0，∴f(x)＝|x－m|－|x＋2m|＝－3m，x≥m－2x－m，－2mxm3m，x≤－2m.(3分)∴当x≤－2m时，f(x)取得最大值3m，∴3m＝3，(4分)∴m＝1.(5分)(2)由(1)，得a2＋b2＝1，a3b＋b3a＝a4＋b4ab＝a2＋b22－2a2b2ab＝1ab－2ab.(7分)∵a2＋b2＝1≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，∴0ab≤12.(8分)令h(t)＝1t－2t,0t≤12，则h(t)在0，12上单调递减，∴h(t)≥h12＝1.(9分)∴当0ab≤12时，1ab－2ab≥1.∴a3b＋b3a≥1.(10分)