2020版新高考二轮复习理科数学专项小测181719题二选一解析

专项小测(十八)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)已知数列{an}满足an≠0，且3an－3an＋1＝anan＋1，等比数列{bn}中，b2＝a1，b4＝3，b6＝9.(1)证明：数列1an为等差数列，并求数列{an}的通项公式．(2)求数列{anan＋1}的前n项和Sn.解：(1)因为an≠0，且3an－3an＋1＝anan＋1，所以等号两边同时除以3anan＋1，得1an＋1－1an＝13，所以数列1an是公差为13的等差数列．(2分)因为{bn}是等比数列，所以b2b6＝b24，又b4＝3，b6＝9，所以9b2＝9，所以b2＝1，(4分)所以a1＝b2＝1，故1an＝1a1＋13(n－1)＝1＋13(n－1)＝n＋23，an＝3n＋2.(6分)(2)由(1)知anan＋1＝9n＋2n＋3＝91n＋2－1n＋3，(8分)所以Sn＝913－14＋14－15＋…＋1n＋2－1n＋3＝913－1n＋3＝3nn＋3.(12分)18．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为433的菱形，∠BCD＝60°，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，EF∥AB，FB＝FC，EF＝233.(1)求证：OE⊥平面ABCD；(2)若△FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角Q－BC－A的余弦值．解：(1)证明：取BC的中点H，连结OH、FH、OE.因为FB＝FC，所以FH⊥BC.因为平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD＝BC，FH⊂平面FBC，所以FH⊥平面ABCD.(2分)因为H、O分别为BC、AC的中点，所以OH∥AB且OH＝12AB＝233.(4分)又因为EF∥AB，EF＝233，所以EF綊OH，所以四边形OEFH为平行四边形，所以OE∥FH，所以OE⊥平面ABCD.(6分)(2)因为菱形ABCD，所以OA＝OC＝OE＝FH＝2，所以OA，OB，OE两两垂直，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．则A(2,0,0)，B0，233，0，C(－2,0,0)，E(0,0,2)，所以Q(1,0,1)，BC→＝－2，－233，0，CQ→＝(3,0,1)．(8分)设平面BCQ的法向量为m＝(x，y，z)．由BC→·m＝0CQ→·m＝0得－2x－233y＝0，3x＋z＝0，取x＝1，则y＝－3，z＝－3可得m＝(1，－3，－3)，平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)．(10分)设二面角Q－BC－A的平面角为θ，则cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝－31×1＋3＋9＝－31313.因为二面角Q－BC－A的平面角为锐角，所以cosθ＝31313，所以二面角Q－BC－A的余弦值为31313.(12分)19．(12分)某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年份2012201320142015201620172018投资金额x(万元)4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长y(万元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长多少？(结果保留两位小数)(2)现从2012年—2018年这7年中抽出三年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，设这三年中λ≥2(万元)的年份数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望．参考公式：b^＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nx—y—∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x，参考数据：∑7i＝1xiyi＝359.6，∑7i＝1x2i＝259.解：(1)x＝17×(4.5＋5.5＋5＋6＋6.5＋7＋7.5)＝6，y＝17×(6＋7＋7.4＋8.1＋8.9＋9.6＋11.1)＝8.3，7xy＝348.6，b^＝∑7i＝1xiyi－7x—y—∑7i＝1x2i－7x2＝359.6－348.6259－7×36＝117≈1.571，a^＝y－b^x＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，那么回归直线方程为y^＝1.57x－1.13，(2分)将x＝8代入方程得y^＝1.57×8－1.13＝11.43，(4分)即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元.(6分)(2)由题意可知，年份2012201320142015201620172018λ1.521.92.12.42.63.6ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝C22C15C37＝17，P(ξ＝2)＝C12C25C37＝47，P(ξ＝3)＝C35C37＝27，(8分)则分布列为ξ123P174727(10分)E(ξ)＝1×17＋2×47＋3×27＝157.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2＋2cosα，y＝2sinα(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知A，B是曲线C上任意两点，且∠AOB＝π3，求ΔOAB面积的最大值．解：(1)消去参数α，得到曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，故曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(5分)(2)在极坐标系中，不妨设A(ρ1，θ0)，Bρ2，θ0＋π3，其中ρ1＞0，ρ2＞0，－π2θ0π2.由(1)知ρ1＝4cosθ0，ρ2＝4cosθ0＋π3，所以△OAB面积S＝12ρ1ρ2sinπ3＝43cosθ0cosθ0＋π3，所以S＝23cos2θ0－6sinθ0cosθ0＝3(1＋cos2θ0)－3sin2θ0＝23cos2θ0＋π3＋3.当2θ0＋π3＝0时，即θ0＝－π6，cos2θ0＋π3有最大值1，此时Smax＝33，故△OAB面积的最大值为33.(10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知正实数a，b满足a＋b＝2.(1)求证：2a＋1＋2b＋1≤23；(2)若对任意正实数a，b，不等式|x＋1|－|x－3|≥ab恒成立，求实数x的取值范围．解：(1)(2a＋1＋2b＋1)2＝2(a＋b)＋2＋22a＋1·2b＋1≤6＋2(a＋b)＋2＝12，所以2a＋1＋2b＋1≤23.(5分)(2)对正实数a，b有a＋b≥2ab，所以2ab≤2，解得ab≤1，当且仅当a＝b时等号成立．因为对任意正实数a，b，|x＋1|－|x－3|≥ab恒成立，所以|x＋1|－|x－3|≥1恒成立．当x≤－1时，不等式化为－x－1－(3－x)≥1，整理得－4≥1，不等式无解；当－1x3时，不等式化为x＋1－(3－x)≥1，解得32≤x3；当x≥3时，不等式化为x＋1－(x－3)≥1，整理得4≥1，不等式恒成立．综上可得x的取值范围是32，＋∞.(10分)