2020版新高考二轮复习理科数学专项小测612选择4填空解析

专项小测(六)“12选择＋4填空”时间：45分钟满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|log2x≤0}，B＝{x|1＜3x＜27}，则(∁RA)∩B＝()A．(0,1)B．(1,3]C．(1,3)D．[1,3)解析：由题意，得A＝{x|0＜x≤1}，∁RA＝{x|x≤0或x＞1}，B＝{x|0＜x＜3}，则(∁RA)∩B＝{x|1＜x＜3}，故选C.答案：C2．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为＝cosπ＋isinπcosπ4＋isinπ4＝－122＋i22＝－22＋i22，所以对应点－22，22在第二象限，故选B.答案：B3．若tanα＋π4＝－3，则sin2α－cos2α＝()A.35B．－25C．－1D．3解析：tanα＋π4＝－3⇒tanα＋tanπ41－tanα·tanπ4＝－3⇒tanα＝2，sin2α－cos2α＝sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－11＋tan2α，把tanα＝2代入，得sin2α－cos2α＝35，故选A.答案：A4．若非零向量a、b满足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，则a在b方向上的投影为()A．4B．8C.14D.18解析：由(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0得a·b＝a22＝|a|22＝8，从而a在b方向上的投影为a·b|b|＝82＝4，故选A.答案：A5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n解析：若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n异面或m与n相交，选项A错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，选项B错误；若直线m，n不相交，则平面α，β不一定平行，选项C错误；∵α⊥β，m⊥α，∴m∥β或m⊂β，又n⊥β，∴m⊥n，选项D正确，故选D.答案：D6．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率()A.1320B.920C.15D.120解析：记“三人中至少有两人解答正确”为事件A；“甲解答不正确”为事件B，则P(A)＝C2323213＋C33233＝2027，P(AB)＝13×23×23＝427，∴P(B|A)＝PABPA＝15，故选C.答案：C7．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的x＝13，输出的y＝12181，则判断框“”中应填入的是()A．k≤2?B．k≤3?C．k≤4?D．k≤5?解析：模拟程序的运行过程如下，输入x＝13，k＝1，y＝1×13＋1＝43，k＝2；y＝43×13＋1＝139，k＝3；y＝139×13＋1＝4027，k＝4；y＝4027×13＋1＝12181，k＝5，此时不满足循环条件，输出y＝12181，则判断框中应填入的是k≤4？，故选C.答案：C8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面积为S，且43S＝(a＋b)2－c2，则sinC＋π4＝()A．1B.22C.6－24D.6＋24解析：由43S＝(a＋b)2－c2，得43×12absinC＝a2＋b2－c2＋2ab.∵a2＋b2－c2＝2abcosC，∴23absinC＝2abcosC＋2ab，即3sinC－cosC＝1，即2sinC－π6＝1，则sinC－π6＝12.∵0Cπ，∴－π6＜C－π6＜5π6，∴C－π6＝π6，即C＝π3，则sinC＋π4＝sinπ3＋π4＝sinπ3cosπ4＋cosπ3sinπ4＝32×22＋12×22＝6＋24，故选D.答案：D9．已知M为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M，∠MFA＝60°，则C的离心率为()A．6B．4C．3D．2解析：如图，设双曲线C的左焦点为F1，连接MF1，由题意知|MF|＝|AF|＝a＋c，|MF1|＝3a＋c，在△MF1F中，由余弦定理得|MF1|2＝|F1F|2＋|MF|2－2|F1F||MF|cos60°，所以(3a＋c)2＝(2c)2＋(a＋c)2－2×2c(a＋c)×12，整理得4a2＋3ac－c2＝0，因为e＝ca，所以e2－3e－4＝0.又因为e＞1，所以e＝4，故选B.答案：B10．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，若a1＝2，且2Sn＋1＝4Sn＋an＋1＋2，则使得Tn＞120－n成立的n的最小值是()A．5B．6C．8D．9解析：由题意知2Sn＋1＝4Sn＋an＋1＋2，化简可得Sn＋1＝3Sn＋2，则当n≥2时，Sn＝3Sn－1＋2，两式相减得an＋1＝3an.当n＝1时，a1＋a2＝3a1＋2，又a1＝2，所以a2＝6＝3a1，故{an}是以3为公比，2为首项的等比数列，所以数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.根据等比数列的前n项和公式可得Sn＝21－3n1－3＝3n－1，从而数列{Sn}的前n项和Tn＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝31－3n1－3－n＝3n＋12－n－32，所以Tn＞120－n，即3n＋12－n－32＞120－n，化简可得3n＋12＞2432，即3n＋1＞243＝35，解得n＞4，故使得Tn＞120－n成立的n的最小值是5，故选A.答案：A11．已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝AA1＝2，AD＝1，正方形CC1D1D所在平面记为α，若经过点A的直线l与长方体ABCD－A1B1C1D1所有的棱所成角相等，且l∩α＝M，则线段AM的长为()A.332B．3C.6D.3解析：如图，建立空间直角坐标系D－xyz.由题意得A(1,0,0)，设点M的坐标(0，y，z)(y＞0，z＞0)，则AM→＝(－1，y，z)．由题意得与DA，DC，DD1平行的棱所在直线的方向向量可分别取为a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1)．因为直线AM与所有的棱所成角相等，所以|cos〈AM→，a〉|＝|cos〈AM→，b〉|＝|cos〈AM→，c〉|，即|AM→·a||AM→|·|a|＝|AM→·b||AM→|·|b|＝|AM→·c||AM→|·|c|，所以1|AM→|＝y|AM→|＝z|AM→|，解得y＝1，z＝1，所以点M的坐标(0,1,1)，即为正方形DCC1D1对角线的端点C1，因此AM→＝(－1,1,1)，所以|AM|＝3，故选D.答案：D12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝()A．1B．0C．1D．2019解析：根据题意，函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则有f(－x)＝f(x＋2)，又由函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(x＋2)，则f(x＋2)＝－f(x＋4)，可得f(x)＝f(x＋4)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，又由f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝……＝f(2017)＝1，f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(3)＝f(7)＝……＝f(2019)＝－1，又f(－2)＝f(2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，且f(0)＝0，所以f(2)＝f(4)＝f(6)＝f(8)＝…＝f(2018)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝505－505＋0＝0，故选B.答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2x2－1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________．解析：若2x2－1xn展开式的二项式系数之和为64，则2n＝64，∴n＝6，则展开式中的通项为Tr＋1＝Cr6·(－1)r·26－r·x12－3r，令12－3r＝0，求得r＝4，可得常数项为C46·22＝60.答案：6014．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10，S8＝36，当n∈N*时，anSn＋3的最大值为________．解析：由题意，等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10，S8＝36，设首项为a1，公差为d，则4a1＋4×32d＝10，8a1＋8×72d＝36，解得a1＝d＝1，所以Sn＝nn＋12，则anSn＋3＝nn＋3n＋42＝2nn2＋7n＋12＝2n＋12n＋7，当n＋12n取最小值时，anSn＋3取最大值，结合函数f(x)＝x＋12x(x0)的单调性，可得当n＝3或n＝4时，anSn＋3max＝17.答案：1715．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为________．解析：如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|.由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝a2.作DE⊥x轴于点E，则有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝a2×ba＝b2，|F2E|＝|DF2|cos∠DF2E＝a2×ca＝c2，∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋c2＝3c2，∴点D的坐标为3c2，－b2.又∵点D在椭圆上，∴3c22a2＋－b22b2＝1，整理得3c2＝a2，所以e＝ca＝33.答案：3316．某图书出版公司到某中学捐赠图书，某班级获得了某品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本．现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁4个人，每人一本，并请这4个人在看自己得到的赠书之前进行预测，结果如下．甲说“乙或丙得到物理书”；乙说“甲或丙得到英语书”；丙说“数学书被甲得到”；丁说“甲得到物理书”．最终结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测均不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人得到的书分别是____________．解析：由甲、丁的预测均不正确可知，丁得到的是物理书，结合乙的预测不正确可知，乙得到的是英语书，结合丙的预测不正确可知，甲得到的是化学书，故丙得到的是数学书．答案：化学、英语、数学、物理