2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练九三角函数平面向量解析

专题强化训练(九)三角函数、平面向量一、选择题1．[2019·太原一模]已知tanα＝2，α∈(0，π)，则sin2αcosπ2＋α＝()A.255B．－255C.455D．－455解析：解法一：因为tanα＝2，α∈(0，π)，所以α是第一象限的角，如图，由任意角的三角函数的定义可知P(1,2)是α终边上一点，则有|OP|＝22＋12＝5，所以cosα＝15＝55，所以sin2αcosπ2＋α＝2sinαcosα－sinα＝－2cosα＝－255，选B.解法二：因为tanα＝2，α∈(0，π)，所以α是第一象限的角．由tanα＝sinαcosα＝2得sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝15，解得cosα＝55或cosα＝－55(舍去)，所以sin2αcosπ2＋α＝2sinαcosα－sinα＝－2cosα＝－255，选B.答案：B2．[2019·合肥质检二]在△ABC中，BD→＝12DC→，则AD→＝()A.14AB→＋34AC→B.23AB→＋13AC→C.13AB→＋23AC→D.13AB→－23AC→解析：通解：因为BD→＝12DC→，所以B，D，C三点共线，且BD→＝13BC→，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD→＝AE→＋AF→.因为BD→＝13BC→，所以AE→＝23AB→，AF→＝13AC→，所以AD→＝23AB→＋13AC→，故选B.优解一：因为BD→＝12DC→，所以BD→＝13BC→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→，故选B.优解二：因为BD→＝12DC→，所以BD→＝13BC→，所以AD→－AB→＝13(AC→－AB→)，所以AD→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→，故选B.答案：B3．[2019·广州综合测试二]已知sinα＋cosα＝15，其中α∈π2，π，则tan2α＝()A．－247B．－43C.724D.247解析：解法一：由sinα＋cosα＝15可得(sinα＋cosα)2＝125，解得sinαcosα＝－1225，联立得sinα＋cosα＝15，sinαcosα＝－1225，可得sinα，cosα是方程y2－15y－1225＝0的两根，因为α∈π2，π，所以sinα＝45，cosα＝－35，则tanα＝－43，所以tan2α＝2×－431－169＝－83－79＝247，选D.解法二：由sinα＋cosα＝15可得(sinα＋cosα)2＝125，解得sinαcosα＝－1225，又α∈π2，π，所以sinα0，cosα0，sinα－cosα0，则(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925，故sinα－cosα＝75，联立得sinα－cosα＝75，sinα＋cosα＝15，解得sinα＝45cosα＝－35，则tanα＝－43，所以tan2α＝2×－431－169＝－83－79＝247，选D.答案：D4．[2019·福建质检]将函数y＝sin2x＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为()A.π12，0B.π4，0C.π3，0D.π2，0解析：将函数y＝sin2x＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6，令2x－π6＝kπ，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，当k＝0时，x＝π12，故所得图象的一个对称中心为π12，0，选A.答案：A5．[2019·郑州质量预测二]在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则CP→·BP→的最小值为()A．－12B．0C．4D．－1解析：通解：因为BC＝2，AC＝4，∠C＝90°，所以AC的中线BD＝22，且∠CBD＝45°.因为点P在边AC的中线BD上，所以设BP→＝λBD→(0≤λ≤1)，如图所示，所以CP→·BP→＝(CB→＋BP→)·BP→＝(CB→＋λBD→)·λBD→＝λCB→·BD→＋λ2·BD→2＝λ|CB→|·|BD→|cos135°＋λ2×(22)2＝8λ2－4λ＝8λ－142－12，当λ＝14时，CP→·BP→取得最小值－12，故选A.优解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,2)，D(2,0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t,2－t)(0≤t≤2)，所以CP→＝(t,2－t)，BP→＝(t，－t)，所以CP→·BP→＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2t－122－12，当t＝12时，CP→·BP→取得最小值－12，故选A.答案：A6．[2019·石家庄一模]已知非零向量a与b的夹角为2π3，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，则|a|＝()A．1B．2C.3D．23解析：通解：∵|a＋2b|＝2，∴|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4，又a与b的夹角为2π3，|b|＝1，∴|a|2－2|a|＋4＝4，∴|a|2－2|a|＝0，又a≠0，∴|a|＝2，故选B.优解一：如图，设a＝(m,0)(m＞0)，∵a与b的夹角为2π3，|b|＝1，∴b＝－12，32，∴a＋2b＝(m－1，3)．∵|a＋2b|＝2，∴(m－1)2＋3＝4.∵m＞0，∴m＝2，∴|a|＝2，故选B.优解二：在如图所示的平行四边形中，∵|b|＝1，∴|2b|＝2，又a与b的夹角为2π3，|a＋2b|＝2，∴此平行四边形是菱形，∴|a|＝2，故选B.答案：B7．[2019·合肥质检二]将函数f(x)＝2sinx＋π6－1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A．函数g(x)的图象关于点－π12，0对称B．函数g(x)的最小正周期是π2C．函数g(x)在0，π6上单调递增D．函数g(x)在0，π6上的最大值是1解析：由题意知，函数f(x)的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数g(x)＝2sin2x＋π6－1，由2x＋π6＝0，得x＝－π12，可知函数g(x)的图象的一个对称中心为－π12，－1，所以选项A不正确；g(x)的最小正周期T＝2π2＝π，所以选项B不正确；由－π2≤2x＋π6≤π2，得－π3≤x≤π6，所以函数g(x)的一个单调递增区间为－π3，π6，所以函数g(x)在0，π6上单调递增，所以选项C正确；当x∈0，π6时，2x＋π6∈π6，π2，g(x)＜2×1－1＝1，所以选项D不正确．故选C.答案：C8．[2019·南昌二模]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间是()A.kπ－7π12，kπ－π12(k∈Z)B.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)C.kπ－5π24，kπ＋7π24(k∈Z)D.kπ－11π24，kπ＋π24(k∈Z)解析：通解：设函数f(x)的最小正周期为T，由函数的图象得T4＝5π12－π6＝π4，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝π6时，f(x)取得最大值，∴sinπ3＋φ＝1，∴π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π6(k∈Z)，又|φ|π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝Asin2x＋π6.∵将函数f(x)图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝Asin2x＋π4＋π6，∴g(x)＝Asin2x＋2π3(A0)，由2kπ－π2≤2x＋2π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－7π12≤x≤kπ－π12(k∈Z)，∴函数g(x)的单调递增区间是kπ－7π12，kπ－π12(k∈Z)，故选A.优解：设函数f(x)的最小正周期为T，由函数的图象得T4＝5π12－π6＝π4，∴T＝π，利用周期性将函数f(x)的图象补充到如图所示的情况，由函数f(x)的图象及函数的周期性得函数f(x)的单调递增区间是kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)，又将函数f(x)图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象，∴函数g(x)的单调递增区间kπ－7π12，kπ－π12(k∈Z)，故选A.答案：A9．[2019·武汉4月调研]已知a，b是两个相互垂直的单位向量，且c·a＝3，c·b＝1，则|b＋c|＝()A.6B.7C．22D．2＋3解析：因为向量a，b是相互垂直的单位向量，所以设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，又c·a＝3，c·b＝1，所以x＝3y＝1，即c＝(3，1)，所以b＋c＝(3，2)，所以|b＋c|＝3＋22＝7，故选B.答案：B10．[2019·石家庄一模]已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A(0，3)，Bπ6，0，则函数f(x)的图象的一条对称轴为()A．x＝－π3B．x＝－π12C．x＝π18D．x＝π24解析：∵函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象过点A(0，3)，∴2cosφ＝3，即cosφ＝32，∴φ＝2kπ±π6(k∈Z)．∵|φ|＜π2，∴φ＝±π6，由函数f(x)的图象知φω＜0，又ω＞0，∴φ＜0，∴φ＝－π6，∴f(x)＝2cosωx－π6.∵f(x)＝2cosωx－π6的图象过点Bπ6，0，∴cosω－1π6＝0，∴ω－1π6＝mπ＋π2(m∈Z)，∴ω＝6m＋4(m∈Z)．∵ω＞0，πω＞π6，∴0＜ω＜6，∴ω＝4，∴f(x)＝2cos4x－π6.∵x＝π24时，f(x)＝2，∴x＝π24为函数f(x)图象的一条对称轴，故选D.答案：D11．[2019·济南模拟]若函数f(x)＝sinωx－π6(ω0)在[0，π]上的值域为－12，1，则ω的最小值为()A.23B.34C.43D.32解析：∵0≤x≤π，ω0，∴－π6≤ωx－π6≤ωπ－π6.又f(x)的值域为－12，1，∴ωπ－π6≥π2，∴ω≥23，故选A.答案：A12．[2019·南昌二模]已知△ABC中，AB＝2，B＝π4，C＝π6，点P是边BC的中点，则AP→·BC→等于()A．1B．2C．3D．4解析：由正弦定理得ACsinB＝ABsinC，∵AB＝2，B＝π4，C＝π6，∴AC＝2sinπ4sinπ6＝22，∴AP→·BC→＝12(AC→＋AB→)·(AC→－AB→)＝12(AC→2－AB→2)＝2，故选B.答案：B13．[2019·广东六校联考]已知A是函数f(x)＝sin2018x＋π6＋cos2018x－π3的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为()A.π2018B.π1009C.2π1009D.π4036解析：f(x)＝sin2018x＋π6＋cos2018x－π3＝32sin2