2020版新高考二轮复习理科数学教学案第二部分第4讲三角函数平面向量答案

第4讲三角函数、平面向量调研一三角函数■备考工具——————————————1．任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r＝x2＋y2，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.2．三角函数在各象限的符号记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．同角三角函数关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosα(α≠π2＋kπ，k∈Z)．4．诱导公式的记忆规律(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．(2)“奇”“偶”指的是诱导公式k·π2＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．(3)“符号看象限”指的是在k·π2＋α中，将α看成锐角时k·π2＋α所在的象限．5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象函数y＝sinxcosxy＝tanx图象6.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(k∈Z)函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：直线x＝kπ＋π2；对称中心：(kπ，0)，k∈Z对称轴：直线x＝kπ；对称中心：kπ＋π2，0，k∈Z无对称轴；对称中心：kπ2，0，k∈Z最小正周期2π2ππ单调性单调增区间：2kπ－π2，2kπ＋π2；单调减区间：2kπ＋π2，单调增区间：[2kπ－π，2kπ]；单调减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z单调增区间：kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z2kπ＋3π2，k∈Z最值当x＝2kπ－π2时，y取最小值－1；当x＝2kπ＋π2时，y取最大值1当x＝2kπ＋π时，y取最小值－1；当x＝2kπ时，y取最大值1无最值奇偶性奇偶奇7.y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换(A0，ω0)【说明】前一种方法第一步相位变换是向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|个单位，而后一种方法第二步相位变换是向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|ω个单位，要严格区分，对y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)同样适用．8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝2πω.(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ，k∈Z得单调递减区间．(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其对称中心．利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，求得其对称轴．9．三角恒等变换中常用的公式(1)两角和与差的三角函数公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(Sα＋β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(Cα＋β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(Cα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(Tα＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ；(Tα－β)(2)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)tan2α＝2tanα1－tan2α.(T2α)■自测自评——————————————1．[2019·全国卷Ⅱ]下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|解析：A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x＜0，由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.答案：A2．[2019·山西八校联考]若cosπ6－α＝23，则cos5π3＋2α＝()A．－79B.79C．－19D.19解析：cos5π3＋2α＝cos2π－2π6－α＝cos2π6－α＝2cos2π6－α－1＝2×49－1＝－19.答案：C3．[2019·天津卷]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且gπ4＝2，则f3π8＝()A．－2B．－2C.2D．2解析：由f(x)为奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|π，所以φ＝0，所以g(x)＝Asin12ωx.由g(x)的最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，g(x)＝Asinx.gπ4＝Asinπ4＝2，所以A＝2，所以f(x)＝2sin2x，故f3π8＝2sin3π4＝2.答案：C4．[2019·合肥调研]若将函数f(x)＝cos2x(1＋cosx)(1－cosx)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的单调递减区间为()A.－π2＋kπ，kπ(k∈Z)B.kπ，π2＋kπ(k∈Z)C.－π8＋14kπ，14kπ(k∈Z)D.14kπ，π8＋14kπ(k∈Z)解析：因为f(x)＝cos2x(1＋cosx)(1－cosx)＝cos2xsin2x＝14sin22x＝18－18cos4x，所以g(x)＝18－18cos2x，所以当－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z时，y＝g(x)单调递减，所以g(x)的单调递减区间是kπ－π2，kπ，k∈Z，故选A.答案：A5．[2019·山西第一次联考]把函数f(x)＝sin2x－cos2x的图象向右平移π2个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列判断错误的是()A．g(x)＝－sin2x＋cos2xB．函数y＝g(x)的图象关于直线x＝3π8对称C．函数y＝g(x)在－π4，π4上单调递减D．函数y＝g(x)的图象关于点－3π8，0对称解析：解法一：f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin2x－π4，所以g(x)＝2sin2x－π2－π4＝－sin2x＋cos2x＝2sin2x＋3π4，显然A正确；令2x＋3π4＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝－π8＋kπ2(k∈Z)，所以直线x＝－π8＋kπ2(k∈Z)是函数y＝g(x)的图象的对称轴，当k＝1时，得对称轴为直线x＝3π8，B正确；令2x＋3π4＝kπ(k∈Z)，得x＝－3π8＋kπ2(k∈Z)，所以点－3π8＋kπ2，0(k∈Z)是函数y＝g(x)的图象的对称中心，当k＝0时，得对称中心为点－3π8，0，D正确；令π2＋2kπ≤2x＋3π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得－π8＋kπ≤x≤3π8＋kπ(k∈Z)，所以函数y＝g(x)在区间－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)上单调递减，故C错误．故选C.解法二：f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin2x－π4，所以g(x)＝2sin2x－π2－π4＝－sin2x＋cos2x＝2sin2x＋3π4，显然A正确；当x＝3π8时，g3π8＝2sin2×3π8＋3π4＝2sin3π2＝－2，所以B正确；当x＝－3π8时，g－3π8＝2sin－2×3π8＋3π4＝0，所以D正确；当－π4xπ4时，π42x＋3π45π4，易知C错误．故选C.答案：C6．[2019·全国卷Ⅱ]已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255解析：由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α，所以2sinα1－sin2α＝1－sin2α，解得sinα＝55，故选B.答案：B7．[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间π2，π上单调递增③f(x)在[－π，π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③解析：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当π2＜x＜π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在π2，π上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.答案：C8．[2019·全国卷Ⅲ]设函数f(x)＝sinωx＋π5(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在0，π10单调递增④ω的取值范围是125，2910其中所有正确结论的编号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④解析：如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π＜xB，有24π5ω≤2π＜29π5ω，得125≤ω＜2910，所以④正确；当x∈0，π10时，π5＜ωx＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜49π100＜π2，所以函数f(x)在0，π10上单调递增，所以③正确．答案：D9．[2019·北京卷]函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．解析：∵f(x)＝sin22x＝1－cos4x2，∴f(x)的最小正周期T＝2π4＝π2.答案：π210．[2019·江苏卷]已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin2α＋π4的值是________．解析：通解：tanαtanα＋11－tanα＝tanα1－tanαtanα＋1＝－23，解得tanα＝2或tanα＝－13，当tanα＝2时，sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35，此时sin2α＋