专题05平面解析几何2019年高考真题和模拟题分项汇编数学文解析

专题05平面解析几何1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A．22B．1C．2D．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0xy，所以ab，则222caba，所以双曲线的离心率2cea.故选C.【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得ab，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C：22221(0,0)xyabab的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50D．1cos50【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan50bbaa，2222222sin50sin50cos50111tan501cos50cos50cos50cbeaa，故选D．【名师点睛】对于双曲线：222210,0xyabab，有21cbeaa；对于椭圆222210xyabab，有21cbeaa，防止记混．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C的焦点为121,01,0FF()，()，过F2的直线与C交于A，B两点．若22||2||AFFB，1||||ABBF，则C的方程为A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2FBn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nnnFABnn．在12AFF△中，由余弦定理得2214422243nnnn，解得32n．2222423,3,312,anabac所求椭圆方程为22132xy，故选B．法二：由已知可设2FBn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得2221222144222cos4422cos9nnAFFnnnBFFn，又2121,AFFBFF互补，2121coscos0AFFBFF，两式消去2121coscosAFFBFF,，得223611nn，解得32n．2222423,3,312,anabac所求椭圆方程为22132xy，故选B．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y2=2px（p0）的焦点是椭圆2213xypp的一个焦点，则p=A．2B．3C．4D．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)ypxp的焦点(,0)2p是椭圆2231xypp的一个焦点，所以23()2ppp，解得8p，故选D．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，从而解出p，或者利用检验排除的方法，如2p时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F为双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A．2B．3C．2D．5【答案】A【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx轴，又||PQOFc，||,2cPAPA为以OF为直径的圆的半径，∴||2cOA，,22ccP，又P点在圆222xya上，22244cca，即22222,22ccaea．2e，故选A．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F是双曲线C：22145xy的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若=OPOF，则OPF△的面积为A．32B．52C．72D．92【答案】B【解析】设点00,Pxy，则2200145xy①．又453OPOF，22009xy②．由①②得20259y，即053y，0115532232OPFSOFy△，故选B．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设00,Pxy，由=OPOF，再结合双曲线方程可解出0y，利用三角形面积公式可求出结果.7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221xya（a0）的离心率是5，则a=A．6B．4C．2D．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率5cea，21ca，∴215aa，解得12a，故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l.若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为A．2B．3C．2D．5【答案】D【解析】抛物线24yx的准线l的方程为1x，双曲线的渐近线方程为byxa，则有(1,),(1,)bbABaa，∴2bABa，24ba，2ba，∴225cabeaa.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把4ABOF用,,abc表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】22(1)4xy【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=−1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x−1)2+y2=22，即为22(1)4xy.【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.10．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12FF，为椭圆C:22+13620xy的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若12MFF△为等腰三角形，则M的坐标为___________.【答案】3,15【解析】由已知可得2222236,20,16,4abcabc，11228MFFFc，∴24MF．设点M的坐标为0000,0,0xyxy，则121200142MFFSFFyy△，又122201482415,44152MFFSy△，解得015y，2201513620x，解得03x（03x舍去），M\的坐标为3,15．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MFMF、，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.11．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yxbb经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.【答案】2yx【解析】由已知得222431b，解得2b或2b，因为0b，所以2b.因为1a，所以双曲线的渐近线方程为2yx.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,ab密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.12．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是▲.【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线4yxx相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小.由2411yx，得2(2)xx舍，32y，即切点(2,32)Q，则切点Q到直线x+y=0的距离为22232411，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230xy与圆C相切于点(2,1)A，则m=___________，r=___________．【答案】2，5【解析】由题意可知11:1(2)22ACkACyx，把(0,)m代入直线AC的方程得2m，此时||415rAC.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m代入后求得m，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.14．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195xy的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是___________．【答案】15【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OFOM|=c=，由中位线定理可得12||4PFOM，设(,)Pxy，可得22(2)16xy，与方程22195xy联立，可解得321,22xx（舍），又点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P，所以1521512PFk.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PFOM，即342ppaexx，从而可求得315,22P，所以1521512PFk.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．【答案】（1）M的半径=2r或=6r；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为M过点,AB，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线+=0xy上，且,AB关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设(,)Maa.因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为|2|ra.由已知得||=2AO，又MOAO，故可得2224(2)aa，解得=0a或=4a.故M的半径=2r或=6r.（2）存在定点(1,0)P，使得||||MAMP为定值.理由如下：设(,)Mxy，由已知得M的半径为=|+2|,||=2rxAO.由于MOAO，故可得2