备战新课标高考理科数学2020124小题提速练二解析

提高小题的解题速度“12＋4”小题提速练为解答后面的大题留足时间一、选择题1．已知集合A＝[－1,1]，B＝{x|lnx＜0}，则A∩B＝()A．(0,1)B．(0,1]C．(－1,1)D．[－1,1]解析：选A由B＝{x|lnx＜0}，得B＝{x|0＜x＜1}，∵A＝[－1,1]，∴A∩B＝(0,1)，故选A.2．已知z的共轭复数是z，且|z|＝z＋1－2i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，∵|z|＝z＋1－2i，∴a2＋b2＝(a＋1)－(b＋2)i，∴a2＋b2＝a＋1，b＋2＝0，∴a＝32，b＝－2，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.3．已知向量a＝(1，3)，|b|＝3，且a与b的夹角为π3，则|2a＋b|＝()A．5B.37C．7D．37解析：选B∵a＝(1，3)，∴|a|＝2，∵|b|＝3，a与b的夹角为π3，∴a·b＝3，∴|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝16＋12＋9＝37，∴|2a＋b|＝37，故选B.4．(2019·洛阳尖子生统考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则a2a16a9的值为()A．－2＋22B．－2C.2D．－2或2解析：选B因为等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，则a9＝－2，所以a2a16a9＝a29a9＝a9＝－2.5．将函数y＝sin2x＋π6的图象向右平移π6个单位长度后所得图象的一个对称中心为()A.π12，0B.π4，0C.π3，0D.π2，0解析：选A将函数y＝sin2x＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6，令2x－π6＝kπ，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，当k＝0时，x＝π12，故所得图象的一个对称中心为π12，0，选A.6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是()A．18B．12C．10D．9解析：选D由三视图得该几何体是四棱锥P­ABCD(如图所示)，其中底面ABCD是直角梯形，CD＝2，AB＝4且CD∥AB，与底垂直的腰AD＝3，PA⊥底面ABCD且PA＝3，所以该几何体的体积是13×2＋4×32×3＝9.7.某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是()A.427B.13C.59D.1927解析：选D记顾客中奖为事件A，恰抽1次就中奖为事件A1，恰抽2次中奖为事件A2，恰抽3次中奖为事件A3.每次抽奖相互独立，每次抽奖中奖的概率均为13，∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝13＋23×13＋23×23×13＝1927，故选D.8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”，比如已知正整数n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值，执行程序框图，则输出的n＝()A．62B．59C．53D．50解析：选C法一：m1＝112，m2＝120，m3＝105，n＝2×112＋4×120＋5×105＝1229,1229＞168，n＝1229－168＝1061；1061＞168，n＝1061－168＝893；…；221＞168，n＝221－168＝53,53＜168，所以输出的n＝53.法二：∵m1＝112，m2＝120，m3＝105，∴n＝2×112＋4×120＋5×105＝1229，由程序框图及题设中的“中国剩余定理”得此程序的算法功能是“1229被168除的余数是多少？”∵1229＝7×168＋53，∴输出的n＝53，故选C.9．若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－1≤0，y＋1≥0，则z＝x＋2y的最小值是()A．－5B．－4C．0D．2解析：选B画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋2y＝0，并平移，数形结合可知，当直线过点A时，z＝x＋2y取得最小值．由x－y＋1＝0，y＋1＝0，得x＝－2，y＝－1，所以A(－2，－1)，所以zmin＝－4，故选B.10．函数f(x)＝ln|x|＋x2x3－x的图象大致为()解析：选B法一：因为x3－x≠0，所以x≠0且x≠±1，又f(－x)＝ln|x|＋x2－x3＋x＝－f(x)，所以函数f(x)在其定义域上为奇函数，排除C；由f(2)＝ln66＞0，可排除A；当x从大于－1的一边趋近于－1时，f(x)趋近于＋∞，排除D.故选B.法二：由f(－2)＝ln6－6＜0，可排除A、C；当x从大于－1的一边趋近于－1时，f(x)趋近于＋∞，排除D.故选B.11．(2019·德州模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝3，S为△ABC的面积，则S＋3cosBcosC的最大值为()A．1B.3C.3＋1D．3解析：选B因为a2＝b2＋c2＋bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12.又A为△ABC的内角，所以0＜A＜π，所以A＝2π3.所以bsinB＝csinC＝asinA＝3sin2π3＝2,故b＝2sinB，c＝2sinC，所以S＋3cosB·cosC＝12bcsinA＋3cosBcosC＝34bc＋3cosBcosC＝3sinBsinC＋3cosBcosC＝3cos(B－C)，又A＋B＋C＝π，A＝2π3，所以B－C∈－π3，π3，所以cos(B－C)∈12，1，当B＝C时，cos(B－C)＝1，所以S＋3cosBcosC∈32，3，即S＋3cosBcosC的最大值为3.12．(2020届高三·浙江六校联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上任一点，且PF1→·PF2→的最小值的取值范围是－34c2，－12c2，则该双曲线的离心率的取值范围为()A．(1，2]B．[2，2]C．(1，2)D．[2，＋∞)解析：选B设P(m，n)，则m2a2－n2b2＝1，即m2＝a21＋n2b2，设F1(－c,0)，F2(c,0)，则PF1→＝(－c－m，－n)，PF2→＝(c－m，－n)．即PF1→·PF2→＝m2－c2＋n2＝a21＋n2b2－c2＋n2＝n21＋a2b2＋a2－c2≥a2－c2(当n＝0时取等号)．则PF1→·PF2→的最小值为a2－c2，由题意可得－34c2≤a2－c2≤－12c2，即14c2≤a2≤12c2，即12c≤a≤22c，即2≤e≤2，故选B.二、填空题13.3x－133x10的展开式中含x2项的系数为____．解析：法一：∵3x－133x10的展开式的通项公式为Tr＋1＝－13rCr10·x10－r3x－r3＝－13rCr10x10－2r3，由10－2r3＝2，得r＝2，所以3x－133x10的展开式中含x2项的系数为19C210＝5.法二：设t＝3x，则求3x－133x10的展开式中含x2项的系数即求t－13t10展开式中含t6项的系数，∵t－13t10展开式的通项公式为Tr＋1＝－13rCr10·t10－2r，由10－2r＝6得r＝2，∴t－13t10的展开式中含t6项的系数为19C210＝5，∴3x－133x10的展开式中含x2项的系数为5.答案：514．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝75，则cos2α＋π2的值是________．解析：由三角函数的定义知cosα＝a，sinα＝b，∴cosα＋sinα＝a＋b＝75，∴(cosα＋sinα)2＝1＋sin2α＝4925，∴sin2α＝4925－1＝2425，∴cos2α＋π2＝－sin2α＝－2425.答案：－242515．已知过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP(O是坐标原点)是等腰三角形，且PQ→＝2QA→，则椭圆的离心率为________．解析：法一：不妨设点P在x轴的上方，∵△AOP是等腰直角三角形，∴直线PA的斜率为1，则直线PA的方程为y＝x＋a，由y＝x＋a，x2a2＋y2b2＝1得(a2＋b2)x2＋2a3x＋a2c2＝0，设点Q的坐标为(x，y)，则(－a)·x＝a2c2a2＋b2，∴点Q的横坐标x＝－ac2a2＋b2.∵PQ→＝2QA→，∴－ac2a2＋b2＝－23a，∴3c2＝2a2＋2b2，∴5c2＝4a2，∴ca＝255，∴椭圆的离心率e＝255.法二：不妨设点P在x轴的上方，∵△AOP是等腰直角三角形，A(－a,0)为椭圆的左顶点，∴P(0，a)，又PQ→＝2QA→，∴Q的坐标为－23a，a3，∴4a29a2＋a29b2＝1，∴a2b2＝5，∴b2a2＝15，∴椭圆的离心率e＝1－b2a2＝255.答案：25516．已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．解析：该三棱锥侧面的斜高为13×32＋12＝233，则S侧＝3×12×2×233＝23，S底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S表＝23＋3＝33.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥＝13S表·r＝13S底·1，所以33r＝3，所以r＝13，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝43πr3＝4π81.答案：334π81