专题13计数原理2019年高考真题和模拟题分项汇编数学理解析

专题13计数原理1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为3144C2C4812，故选A．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9(2)x的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】1625【解析】由题意，9(2)x的通项为919C(2)(0,1,29)rrrrTxr，当0r时，可得常数项为0919C(2)162T；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r=，有246810T,T,T,T,T共5个项．故答案为：162，5．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．3．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,nnnxaaxaxaxnnN．已知23242aaa．（1）求n的值；（2）设(13)3nab，其中*,abN，求223ab的值．【答案】（1）5n；（2）32．【解析】（1）因为0122(1)CCCC4nnnnnnnxxxxn，，所以2323(1)(1)(2)C,C26nnnnnnnaa，44(1)(2)(3)C24nnnnna．因为23242aaa，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224nnnnnnnnn，解得5n．（2）由（1）知，5n．5(13)(13)n0122334455555555CC3C(3)C(3)C(3)C(3)3ab．解法一：因为*,abN，所以024135555555C3C9C76,C3C9C44ab，从而222237634432ab．解法二：50122334455555555(13)CC(3)C(3)C(3)C(3)C(3)0122334455555555CCC(3)C(3)C(3)(3C3)．因为*,abN，所以5(13)3ab．因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32ababab．【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．4．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】已知二项式12(*)nxnxN的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x的系数为A．14B．14C．240D．240【答案】C【解析】二项展开式的第1r项的通项公式为11C2rnrrrnTxx，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12C:C2:5nn．即22(1)5nnn，解得6n或0n（舍去）．所以366216C21rrrrrTx，令3632r，解得2r=，所以3x的系数为22626C21240．故选C．【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．5．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）】已知51(1)(2)axxx的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．80B．40C．40D．80【答案】D【解析】令x1，得展开式的各项系数和为51(1)(2)11a1a，12a，1a\=，551111212axxxxxx5511122xxxxx，所求展开式中常数项为512xx的展开式的常数项与x项的系数和，512xx展开式的通项为55521551C)(1)()(1)2(2CrrrrrrrrrTxxx，令521r得2r=；令520r，无整数解，∴展开式中常数项为258C80，故选D．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1CrnrrrnTab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．6．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】831xx展开式的常数项为A．56B．28C．56D．28【答案】D【解析】831xx展开式的通项公式为488318831C()C(1)rrrrrrrTxxx，令4803r，得6r，∴所求常数项为：668C(1)28，故选D．【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．7．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试】安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有A．30种B．40种C．42种D．48种【答案】C【解析】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264CC90种安排方法，其中A照顾老人甲的情况有：1254CC30种，B照顾老人乙的情况有：1254CC30种，A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有：1143CC12种，∴符合题意的安排方法有：9030301242种，故选C．【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解．8．【上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题】二项式61(2)2xx展开式的常数项为第_________项．【答案】4【解析】由二项式展开式的通项公式得：Tr+16Cr（2x）6–r（12x）r＝6Cr（–1）r26–2rx6–2r，令6–2r＝0，得r＝3，∴T4为常数项，即二项式61(2)2xx展开式的常数项为第4项，故答案为：4．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题．9．【河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用．数字作答．．．．）【答案】660【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有223643CCA种，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有3363CA种，则不同的分配方案共有223643CCA+3363CA660种，故答案为：660．【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题．10．【上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题】已知232*0121111nnnxxxxaaxaxaxnN（）（）（）（）（），且012126naaaa，那么1nxx（）的展开式中的常数项为_________．【答案】–20【解析】∵232*0121111nnnxxxxaaxaxaxnN（）（）（）（）（），令1x，可得210122122222212nnnnaaaa（），∴122126n，∴6n，那么1nxx（），即61xx（）的展开式的通项公式为316C1rrrrTx（），令30r，求得3r，可得展开式中的常数项为36C20，故答案为：–20．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．11．【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应性测试数学试卷】设m为正整数，2mxy展开式的二项式系数的最大值为21maxy，展开式的二项式系数的最大值为b，若158ab，则m_________．【答案】7【解析】2mxy展开式中二项式系数的最大值为2Cmma，21mxy展开式中二项式系数的最大值为121Cmmb，因为158ab，所以122115C8Cmmmm，即(2)!(21)!158!!!(1)!mmmmmm，解得7m．【点睛】本题考查了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的关键是要能准确计算出二项式系数的最大值．12．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学试题】若21nxx（）展开式中的二项式系数和为64，则n等于_________，该展开式中的常数项为_________．【答案】615【解析】由21nxx展开式中的二项式系数和为64，可得264n，解得6n，62211nxxxx的展开式的通项公式为122123166CCrrrrrrTxxx，令1230r，解得4r，故该展开式中的常数项为4266CC15，本题正确结果为：6，15．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13．【广东省2019届高三六校第一次联考数学试题】若02sinc(s)oaxxdx，则6axx（）的展开式中常数项为_________．【答案】240【解析】002sincos(2cossin)(|()20)(20)4axxdxxx，64xx（）展开式的通项公式为636621664C41CrrrrrrrrTxxx（），令3-602r，即4r．64xx（）的展开式中，常数项是6444641C=240（），故答案为240．【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键．14．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】二项式00nbaxabx，的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若25670ABC，，则含6x的项为_________．【答案】68x【解析】依题得2256n，所以n=8，在nbaxx的展开式中令x=1，则有8256ab，所以a+b=2，又因为nbaxx展开式的通项公式为8882188CCrrrrrrrrbTaxabxx，令8204rr．所以得到4448C7011ababab，（舍），当1ab时，由2ab得1ab．所以令8261rr，所以16628C8Txx，故答案为：68x．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：（1）求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．（2）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．15．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）】设20|sin|nxdx在，则12(1)nxx展开式中2x的系数为_________．【答案】8【解析】由题意，220200|sin||sin||sin|sin(sin)nxdxxdxxdxxdxxdx20coscos4xx，4(1)x的通项公式为4144C1CrrrrrrTxx，当2r=时，22234C6Txx，当3r时，3