备战新课标高考理科数学2020124小题提速练八解析

提高小题的解题速度“12＋4”小题提速练八为解答后面的大题留足时间一、选择题1．在复平面内，表示复数z＝11－i的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Az＝11－i＝1＋i1－i1＋i＝12＋12i，在复平面内对应的点为12，12，位于第一象限，故选A.2．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，则A∩B＝()A．{－1,0,1,2}B．{－1,0,1}C．{0,1,2}D．{0,1}解析：选D法一：因为B＝{x|(x＋1)(x－2)0}＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，故选D.法二：因为－1∉B且2∉B，所以排除A、B、C，故选D.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，a4＝2，则S6＝()A．0B．10C．15D．30解析：选C法一：设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝2，解得a1＝5，d＝－1，所以S6＝6×5＋6×52×(－1)＝15，故选C.法二：设等差数列{an}的公差为d，则d＝a4－a22＝－1，所以S6＝6a1＋a62＝3(a2＋a5)＝3(a2＋a4＋d)＝3×(2＋4－1)＝15.故选C.4．下列各点中，可以作为函数y＝sinx－3cosx＋1图象的对称中心的是()A.π3，1B.π6，1C.π3，0D.π6，0解析：选Ay＝sinx－3cosx＋1＝2sinx－π3＋1，由x－π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ＋π3(k∈Z)，当k＝0时，x＝π3，所以该函数图象的一个对称中心可以为π3，1.5．设θ∈R，则“0＜θ＜π3”是“3sinθ＋cos2θ＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A3sinθ＋cos2θ＞1⇔3sinθ＞1－cos2θ＝2sin2θ⇔(2sinθ－3)sinθ＜0⇔0＜sinθ＜32.当0＜θ＜π3时，0＜sinθ＜32；当0＜sinθ＜32时，2kπ＜θ＜π3＋2kπ，k∈Z或2π3＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.所以0＜θ＜π3是3sinθ＋cos2θ＞1的充分不必要条件，故选A.6．已知函数f(x)＝ln1＋x1－x＋x＋1，且f(a)＋f(a＋1)＞2，则a的取值范围是()A.－12，＋∞B.－1，－12C.－12，0D.－12，1解析：选C由题意知函数f(x)的定义域为(－1,1)，令g(x)＝ln1＋x1－x＋x，则g(－x)＝ln1－x1＋x－x＝－ln1＋x1－x－x＝－g(x)，故函数g(x)为奇函数，并且g(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＋x，易得g(x)在(－1,1)上为增函数．f(a)＋f(a＋1)＞2，即g(a)＋g(a＋1)＞0，∴g(a＋1)＞－g(a)，∴g(a＋1)g(－a)，∴－1－a1，－1a＋11，a＋1－a，∴－12a0，故选C.7.如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则AB→·(AC→＋AE→)＝()A．8B．12C．16D．20解析：选D法一：设AB→＝a，AD→＝b，则a·b＝0，a2＝16，AC→＝AD→＋DC→＝b＋12a，AE→＝12(AC→＋AB→)＝12b＋12a＋a＝34a＋12b，所以AB→·(AC→＋AE→)＝a·b＋12a＋34a＋12b＝a·54a＋32b＝54a2＋32a·b＝54a2＝20，故选D.法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t0)，则B(4,0)，C(2，t)，E3，12t，所以AB→·(AC→＋AE→)＝(4,0)·2，t＋3，12t＝(4,0)·5，32t＝20，故选D.8．在2018中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山旅游的概率为()A.14B.13C.12D.23解析：选B4名游客去三个景点，每个景点至少有一个人，可以先将其中2名游客“捆绑在一起”作为“一个人”，再将“三个人”安排到三个景点去旅游，共有C24A33＝6×6＝36(种)方案．游客甲去梵净山旅游，若梵净山再没有其他3名游客去旅游，则有C23A22＝3×2＝6(种)方案，若“乙、丙、丁”中有1人也去了梵净山旅游，则有A33＝6(种)方案，所以游客甲去梵净山旅游共有12种方案．所以游客甲去梵净山旅游的概率P＝1236＝13.故选B.9．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积是()A.823πB．43πC．12πD．323π解析：选B在棱长为2的正方体中还原该几何体，如图中的三棱柱ACD­A1C1D1所示，则该三棱柱的外接球与该正方体的外接球是同一个球，该正方体的外接球的半径为其体对角线的一半，∴球O的半径R＝22＋22＋222＝3，∴球O的体积V＝43πR3＝43π，故选B.10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，3)在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为()A．x2－y2＝1B.x22－y23＝1C．x2－y23＝1D.x216－y24＝1解析：选A∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c，∵点P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，∴cos∠PF2F1＝4c2＋2c－a2－2c＋a24c2c－a＝c－2a2c－a，又点P的坐标为(2，3)，∴sin∠PF2F1＝32c－a，∴c－2a2c－a2＋32c－a2＝1，化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，c2－a2＝b2＝1，又4a2－3b2＝1，∴a2＝1，∴双曲线的方程为x2－y2＝1，故选A.11．设f(x)＝x，点O(0,0)，A(0,1)，An(n，f(n))，n∈N*，设∠AOAn＝θn，对一切n∈N*都有不等式sin2θ112＋sin2θ222＋sin2θ332＋…＋sin2θnn2＜t2－2t－2成立，则正数t的最小值为()A．3B．4C．5D．6解析：选A由∠AOAn＝θn，得sin2θnn2＝nn2＋f2n21n2＝1n2＋n2＝1nn＋1＝1n－1n＋1，所以sin2θ112＋sin2θ222＋sin2θ332＋…＋sin2θnn2＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＜1，所以t2－2t－2≥1，解得t≥3，所以正数t的最小值为3.故选A.12．对任意m∈1e，e2，存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得ax1－ex1＝ax2－ex2＝mlnm－m，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是()A．(e2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(1，e2)D．(0,1)解析：选A设t＝h(m)＝mlnm－mm∈1e，e2，则t′＝lnm，∵1e≤m≤e2，∴1e≤m＜1时，t′＜0,1＜m≤e2时，t′＞0，∴t≥h(1)＝－1，又h1e＝－2e＜h(e2)＝e2，∴－1≤t≤e2.∵存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得ax1－ex1＝ax2－ex2＝t，∴方程ax－ex－t＝0有两个不等实根x1，x2.设f(x)＝ax－ex－t，则f′(x)＝a－ex，∵a≤0时，f′(x)＜0，∴函数f(x)＝ax－ex－t在R上是减函数，方程ax－ex－t＝0不可能有两个不等实根，不合题意，∴a＞0(也可以分析选项得到)．∵x＜lna时f′(x)＞0，x＞lna时f′(x)＜0，∴f(x)≤f(lna)，∴f(x)≤alna－a－t.∵方程ax－ex－t＝0有两个不等实根x1，x2，∴alna－a－t＞0，∴alna－a＞t对一切t∈[－1，e2]恒成立，∴alna－a＞e2，即a(lna－1)＞e2，显然lna－1＞0，∴a＞e.设g(a)＝a(lna－1)(a＞e)，则g′(a)＝lna，∵g′(a)＞1，∴g(a)＝a(lna－1)在区间(e，＋∞)上是增函数，又g(e2)＝e2，∴a＞e2，∴实数a的取值范围是(e2，＋∞)，故选A.二、填空题13．若实数x，y满足约束条件y≤x，x＋y≥1，x－3y＋3≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋y＝0，并平移，可知当直线经过点P时，z取得最小值．由y＝x，x＋y－1＝0，得x＝12，y＝12，所以P12，12，此时zmin＝3×12＋12＝2.答案：214．执行如图所示的程序框图，如果输入N＝4，则输出的p为________．解析：初始值，N＝4，k＝1，p＝1，进入循环，p＝1，k＜N，k＝2；p＝2，k＜N，k＝3；p＝6，k＜N，k＝4；p＝24，k＝N，此时不满足循环条件，退出循环体，输出的p＝24.答案：2415．设函数f(x)＝x＋ax(a0)．当a＝1时，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为__________；若f(x)在区间(2，＋∞)上存在最小值，则满足条件的一个a的值为__________．解析：当a＝1时，因为x0，所以f(x)＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1时，f(x)取得最小值为2.若f(x)在区间(2，＋∞)上存在最小值，由f(x)的导数为f′(x)＝1－ax2＝x＋ax－ax2，当f′(x)0，f(x)单调递减，可得f(x)在x＝a处取得极小值，由题意可得f(a)为最小值，即有a2，可得a4.可取a＝5(答案不唯一)．答案：2516．在四面体PABC中，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，底面△ABC是边长为23的正三角形，O为△ABC的中心，则∠PAO的余弦值为________．解析：如图，连接CO并延长交AB于点D，则AD＝DB＝3，CD＝3，OC＝2，DO＝1，AO＝2.连接DP，在△APD和△BPD中，由余弦定理得cos∠ADP＝AD2＋PD2－AP22×AD×PD，cos∠BDP＝BD2＋PD2－PB22×BD×PD.∵cos∠ADP＝－cos∠BDP，∴32＋PD2－322×3×PD＝－32＋PD2－422×3×PD，∴PD2＝192.连接PO，在△POD和△POC中，cos∠DOP＝－cos∠POC，∴PO2＋DO2－PD22×PO×DO＝－PO2＋OC2－PC22×PO×OC，即PO2＋12－1922×PO×1＝－PO2＋22－522×PO×2，∴PO2＝383.在△PAO中，cos∠PAO＝AP2＋AO2－PO22×AP×AO＝32＋22－3832×3×2＝136.答案：136