备战新课标高考理科数学2020124小题提速练六解析

提高小题的解题速度“12＋4”小题提速练六为解答后面的大题留足时间一、选择题1．设复数z满足1＋2z1－z＝i，则z＝()A.15＋35iB.15－35iC．－15＋35iD．－15－35i解析：选C因为1＋2z1－z＝i，所以1＋2z＝i－iz，所以z＝i－12＋i＝i－12－i5＝－15＋35i，故选C.2．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|x2＋3x0}，则A∩B＝()A．(0,2)B．(－1,0)C．(－3,2)D．(－1,3)解析：选B由x2－x－2＜0得－1＜x＜2，即A＝(－1,2)，由x2＋3x＜0得－3＜x＜0，即B＝(－3,0)，所以A∩B＝(－1,0)，故选B.3．(2019·张掖模拟)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝()A．－4B．－6C．－8D．－10解析：选B∵a1，a3，a4成等比数列，∴a23＝a1a4，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，∴a1＝－8，∴a2＝－8＋2＝－6.4．(2019·唐山模拟)执行如图所示的程序框图，当输入的n为7时，输出的S的值是()A．14B．210C．42D．840解析：选Bn＝7，S＝1,75？，否，S＝7×1＝7，n＝6,65？，否，S＝6×7＝42，n＝5,55？，否，S＝5×42＝210，n＝4,45？，是，退出循环，输出的S的值为210，选B.5．已知cosπ2＋α＝2cos(π－α)，则tanπ4＋α＝()A．－3B．3C．－13D.13解析：选A∵cosπ2＋α＝2cos(π－α)，∴－sinα＝－2cosα，∴tanα＝2，∴tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα＝－3.6．已知a＝2，b＝55，c＝77，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞b＞a解析：选A∵a＝2，b＝55，c＝77，∴a，b，c均为正数，∴a10＝25＝32，b10＝52＝25，∴a10＞b10，∴a＞b.∵b35＝57，c35＝75，∴b35＞c35，∴b＞c.综上，a＞b＞c，故选A.7.小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD和正方形OPQR构成的标靶图形，如果O正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是()A.13B.14C.16D.17解析：选D如图，记OP交AB于H，OR交BC于G.当H不为AB的中点时，过O分别作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，则∠OEH＝∠OFG＝90°，又O正好是正方形ABCD的中心，所以OE＝OF，∠EOF＝90°，又∠GOH＝90°，所以∠GOF＝∠EOH，所以△OEH和△OFG全等，所以阴影部分的面积与正方形OEBF的面积相等，所以阴影部分的面积为标靶面积的17.当H为AB的中点时，阴影部分的面积为标靶面积的17.所以小华射中阴影部分的概率为17，故选D.8．如果点P(x，y)满足2x－y＋2≥0，x－2y＋1≤0，x＋y－2≤0，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的取值范围是()A．[5－1，10－1]B．[5－1，10＋1]C．[10－1,5]D．[5－1,5]解析：选D作出点P满足的线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，因为点Q所在圆的圆心为M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0,2)，所以|PM|的最小值为5，最大值为4，又圆M的半径为1，所以|PQ|的取值范围是[5－1,5]，故选D.9．将函数y＝sin2x－π4的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数在区间(－m，m)上无极值点，则m的最大值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2解析：选Ay＝sin2x－π4的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin2x＋π4－π4＝sin2x＋π4，函数在原点附近的两个极值分别在x＝π8和x＝－3π8时取得，若在(－m，m)上没有极值点，则应满足m≤π8，所以m的最大值为π8.10．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M1，12，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.14D.32解析：选B∵FP的斜率为－bc，FP∥l，∴直线l的斜率为－bc.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1得y21b2－y22b2＝－x21a2－x22a2，即y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2.∵AB的中点为M1，12，∴－bc＝－2b2a2，∴a2＝2bc，即b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝2c，∴椭圆的离心率为22.11．已知函数f(x)＝xeax－1－lnx－ax，若函数f(x)的最小值恰好为0，则实数a的最小值是()A．－1B．－1eC．－1e2D．－1e3解析：选C令t＝xeax－1(x＞0)，则t＞0，所以lnt＝lnx＋ax－1.令u＝f(x)＝xeax－1－lnx－ax，则u＝t－lnt－1.令g(t)＝t－lnt－1，则g′(t)＝1－1t＝t－1t，当t∈(0,1)时，g′(t)＜0，g(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)＞0，g(t)单调递增，故当t＝1时，g(t)取得最小值g(1)＝0，故当xeax－1＝1，即a＝1－lnxx时，函数f(x)的最小值恰好为0.令h(x)＝1－lnxx，则h′(x)＝lnx－2x2，令h′(x)＝0，得x＝e2，可知h(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，则h(x)min＝h(e2)＝－1e2，即a的最小值为－1e2.12．(2019·江西南昌二中月考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q.若Q是线段PF2的中点，e为椭圆C的离心率，则a2＋e23b的最小值为()A.23B.53C.33D.263解析：选B如图，连接PF1，OQ，由OQ为△PF1F2的中位线，可得OQ∥PF1，|OQ|＝12|PF1|.又|OQ|＝b，所以|PF1|＝2b.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－2b，又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，则有(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，化简得2a＝3b，即b＝23a，c＝a2－b2＝53a，所以离心率e＝ca＝53.则a2＋e23b＝a2＋592a＝12a＋59a≥12·2a·59a＝53，当且仅当a＝59a，即a＝53时等号成立，所以a2＋e23b的最小值为53.二、填空题13．已知平面向量a，b满足a＝(1，3)，|b|＝3，a⊥(a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．解析：由a⊥(a－b)可知a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×3cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝23.答案：2314．已知x0，y0，且1x＋2y＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．解析：∵1x＋2y＝1，∴2x＋y＝xy，∴xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)1x＋2y＝7＋6xy＋2yx≥7＋43，当且仅当6xy＝2yx时等号成立，∴xy＋x＋y的最小值为7＋43.答案：7＋4315．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且tanB＝34，则1tanA＋1tanC的值是________．解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，∴1tanA＋1tanC＝cosAsinA＋cosCsinC＝sinCcosA＋cosCsinAsinAsinC＝sinC＋AsinAsinC＝sinBsinAsinC＝1sinB，∵tanB＝34，∴sinB＝35，∴1tanA＋1tanC＝53.答案：5316．在棱长为1的透明密闭的正方体容器ABCD­A1B1C1D1中，装有容器总体积一半的水(不计容器壁的厚度)，将该正方体容器绕BD1旋转，并始终保持BD1所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为________．解析：由题意得，在保持BD1所在直线与水平平面平行时，正方体容器绕BD1旋转的过程中，水面图形为如图所示的平行四边形BE1D1E，设B1E1＝DE＝x,0≤x≤1，则BE1＝x2＋1，E1D1＝1＋1－x2，由余弦定理得cos∠BE1D1＝x2－xx2＋1·1＋1－x2，所以平行四边形BE1D1E的面积的平方S2＝BE21·E1D21sin2∠BE1D1＝(x2＋1)[1＋(1－x)2]1－x2－x2x2＋1[1＋1－x2]＝2x2－2x＋2，所以x＝0或x＝1时，S2取得最大值2，所以S的最大值为2，即水的水面面积的最大值为2.答案：2