沈阳二中20152016学年度下学期第四次模拟考试高三数学理科试卷答案

-1-沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试高三（16届）数学理科试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足3443izi，则z的虚部为()A.4B.45C.4D.452.已知集合11xxM，22log(1)Nxyx，则NM（）A.2,1B.,0)1,(C.),1(0,D.2,0)1,(3.已知向量a，b满足||4b，a在b方向上的投影是12，则=ab()A.2B.2C.0D.124.命题“若220xy，则0xy”的否命题为()A．若220xy，则0x且0yB．若220xy，则0x或0yC．若220xy，则0x且0yD．若220xy，则0x或0y5.已知1122loglogab，则下列不等式一定成立的是()A.11abB.1133abC.ln0abD.31ab6.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布()A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺7.已知l是双曲线22:124xyC的一条渐近线，P是l上的一点，12,FF是C的两个焦点，若120PFPF，则P到x轴的距离为()A.233B.2C.2D.2638．设,mn是不同的直线，,是不同的平面，下列命题中正确的是()A.若//,,mnmn，则B.若//,,mnmn，则//C.若//,,//mnmn，则D．若//,,//mnmn，则//9.设函数()sincosfxxxx的图像在点(,())tft处切线的斜率为k,则函数()kgt的图像为-2-（第10题图）ABCD10.用随机模拟的方法估计圆周率π的近似值的程序框图如右图所示，P表示输出的结果，则图中空白处应填()A.100MPB.600MPC.100NPD.100NP11.设集合22{(,)|(1)1,,},MxyxyxyR{(,)|0,,}NxyxycxyR，则使得MNM的实数c的取值范围是()A.[21,)B.(,21]C.),12[D.]12,(12．定义在(0,)2上的函数()fx，()fx是它的导函数,恒有()()fxfxtanx成立，则()A．3()2()43ffB．(1)2()sin16ffC．2()()64ffD．3()()63ff第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.已知的展开5(12)x式中所有项的系数和为m，则21mxdx.14.正方体1111ABCDABCD的棱长为8，P、Q分别是棱11AB和11BC的中点，则点1A到平面APQ的距离为.15．以下命题正确的是．①函数3sin(2)3yx的图象向右平移6个单位，可得到3sin2yx的图象；②函数)0()(xxaxxf的最小值为a2；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，2）（0）．若ξ在,1内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16.已知数列}{na的前n项和为，，，046,21nnSSSS且22122,,nnnSSS成等比数列，12221-2,nnnSSS，成等差数列，则2016a等于.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）设ABC的内角ABC，，所对的边分别为abc，，，已知-3-sin()sinsinabacABAB，3b.（Ⅰ）求角 B；（Ⅱ）若3sin3A，求ABC的面积.18.（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.（Ⅰ）求未来三年，至多有1年河流水位)31,27[X的概率（结果用分数表示）；（Ⅱ）该河流对沿河A企业影响如下：当)27,23[X时，不会造成影响；当)31,27[X时，损失10000元；当)35,31[X时，损失60000元，为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并说理由.19.(本小题满分12分)已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；（Ⅱ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:10xyabab的离心率为32，若与圆E：22312xy相交于M,N两点，且圆E在内的弧长为23.（I）求,ab的值；（II）过的中心作两条直线AC，BD交于A,C和B,D四点，设直线AC的斜率为1k，BD的斜率为2k，且1214kk.（1）求直线AB的斜率；（2）求四边形ABCD面积的取值范围.21.（本小题满分12分）定义在R上的函数fx满足22xfxexax，,ab为常数，函数21124xgxfxbxb，若函数fx在0x处的切线与y轴垂直.-4-（I）求函数fx的解析式；（II）求函数gx的单调区间；（III）若,,str满足srtr恒成立，则称s比t更靠近r.在函数gx有极值的前提下，当1x时，ex比1xeb更靠近lnx，试求b的取值范围.请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分22．（选修4—1；几何证明选讲本小题满分10分）如图过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B、C两点，且13ABAC，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，30EBC（Ⅰ）求AF的长；（Ⅱ）求证：3ADED23．（选修4-4；坐标系与参数方程选讲本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为sincostytx（t为参数，0），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1p（0p）（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于BA,两点，求OBOA11的值.24．（选修4—5；不等式选讲本小题满分10分）设函数()214fxxx．（Ⅰ）解不等式：()0fx；（Ⅱ）若()34fxxm对一切实数x均成立，求m的取值范围．沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试高三（16届）数学理科试题参考答案（1）～（5）DBBDD(6)～（10）BCCBA(11)～（12）BB（13）ln2（14）83（15）①③④(16）-1009（17）解：（Ⅰ）sin()sinsinabacABABabaccab……………2分222abacc2221cos222acbacBacac………………………………5分(0,)B，3B…………………………………………………………6分（Ⅱ）由3b，3sin3A，sinsinabAB，得2a…………………………7分由ab得AB，从而6cos3A，………………………………………9分故332sinsin()sincoscossin6CABABAB…………………10分-5-所以ABC的面积为1332sin22SabC.……………………………12分（18）（19）解：(Ⅰ)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.证明如下：由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.………………………1分连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.…………………………2分∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC.……………………3分又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.…………………………………………………4分∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.………5分(Ⅱ)解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.………6分∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝12＋12＝2，AE＝AE＝3，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角……………………………9分．Rt△ADE中，DF＝AD·DEAE＝63,∴BF＝63.BD＝2，△DFB中余弦定理得cos∠DFB＝12，∴∠DFB＝2π3，即二面角D－AE－B的大小为2π3.……………………………12分解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．………………………………………………………………………6分D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而DA＝(0,1,0)，DE＝(－1,0,1)，BA＝(1,0,0)，BE＝(0，－1,1)．设平面ADE和平面ABE的-6-法向量分别为1111,,nxyz，2222,,nxyz由1100nDAnDE11100yxz，取11,0,1n由2200nBAnBE22200xyz，取20,1,1n…………………………10分设二面角D－AE－B的平面角为θ，则121211cos222nnnn，…………11分∴θ＝2π3，即二面角D－AE－B的大小为2π3…………………………………………12分(20)20,2m，且21m，所以0,4ABOS………………………………………12分-7--8-（22）解：（Ⅰ）延长BE交圆E于点M，连接CM，则90BCM，24BMBE24BMBE，30EBC，所以23BC，根据切割线定理得：23339AFABAC，所以3AF.…………5分（Ⅱ）过E作EHBC于H，则△EDH∽△ADF,从而有EDEHADAF,12EHMC,所以1EH，因此13EDAD，即3ADED.……………10分(23)解：（Ⅰ）由cossinxtyt得，直线l是过原点且倾斜角为的直线.故直线l的极坐标方程为,0……………………………………3分由1cosP得222Pypx…………………………………5分24．解：（Ⅰ）当4x时,21450fxxxx,得5x,]所以4x成立.当421x时，214330fxxxx,得1x，所以14x成立.当21x时,50fxx,得5x,所以5x成立.综上，原不等式的解集为1,5xxx或………………………………………5分（Ⅱ）342124fxxxx9|)82(12|xx当时等号