辽宁省沈阳市第二中学2016届高三数学下学期第一次模拟考试试卷答案理

-1-沈阳二中2015－2016学年度下学期第一次模拟考试高三（16届）数学（理）试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合22{|1,},{|3,}MyyxxRNxyxxR，则MN等于()A.[3,3]B.[1,3]C.D.1,32.设i是虚数单位，若复数ia417（Ra）是纯虚数，则实数a的值为（）A.－4B.－1C.4D.13.某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查，y与x具有相关关系，回归方程ˆy＝0.66x+1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A.83%B.72%C.67%D.66%4.下列叙述中正确的是（）A．若,,abcR，则“20axbxc”的充分条件是“240bac”B．若,,abcR，则“22abcb”的充要条件是“ac”C．命题“对任意xR，有20x”的否定是“存在xR，有20x”D．l是一条直线，,是两个平面，若,ll，则//5.6xyyx的展开式中，x3的系数等于（）A．－15B．15C．20D．－206．偶函数sin0,0,0fxAxA的图象向右平移4个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为（）A.1B.2C.3D.47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．24B．52C．6D．348.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)=1(21)xtdt的图象上，则数列{an}的通项公式为（）-2-A．2nanB．22nannC．0,121,2nnannD．0,12,2nnann9．已知一次函数()1fxax满足[1,2]a且0a，那么对于a，使得()0fx在[0,1]x上恒成立的概率为（）A.34B.23C.12Ｄ.1310．点S、A、B、C在半径为2的同一球面上，点S到平面ABC的距离为21，3CABCAB，则点S与ABC中心的距离为（）A．3B．2C．1D．2111.已知函数321132fxxaxbxc在1x处取得极大值，在2x处取得极小值，满足121,0,0,1xx，则242aba的取值范围是（）A.（0，2）B.（1，3）C.[0，3]D.[1，3]12．过点)2,0(b的直线l与双曲线)0,(1:2222babyaxC的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．2,1B．,2C．2,1D．2,1第Ⅱ卷（90分）二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.抛物线28yx的准线方程是.14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值14.3，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（参考数据：2588.015sin，1305.05.7sin）15．已知两个非零平面向量ba,满足：对任意R恒有baba21，若4b，则ba.16.已知等比数列{an}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。三、解答题（共70分）17.（本小题满分12人）△ABC中，3sin23ABC，AB＝2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD433（Ⅰ）求BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积。-3-18.（本小题满分12人）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差。（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，点E是AB的中点，CE∥平面A1BD。（Ⅰ）求证：点D是CC1的中点；（Ⅱ）若A1D⊥BD，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值。20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:10xyEabab离心率为22，点0,1P在短轴CD上，且1PCPDuuuruuur.（I）求椭圆E的方程；（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.（i）若12PBAPuuruuur，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数21()(22)(21)ln2fxxaxax.（Ⅰ）若曲线()yfx在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，求()fx的单调区间；（Ⅱ）对任意的35[,]22a，1212,[1,2]()xxxx，恒有121211|()()|||fxfxxx，求正数的取值范围。EDCBA-4-请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O的半径为6，线段AB与圆O相交于点,CD，4AC，BODA，OB与圆O相交于点E.（Ⅰ）求BD长；（Ⅱ）当CEOD时，求证：AOAD.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4，曲线C的参数方程为2cossinxy.（为参数）（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于,AB两点，若8||||3MAMB，求点M轨迹的直角坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲（Ⅰ）设不等式－2|x－1|－|x+2|0的解集为M,a,bM。证明：111364ab；（Ⅱ）若函数f(x)=|2x+1|+|2x－3|，关于x的不等式f(x)－log2(a2－3a)2恒成立，求实数a的取值范围。-5-沈阳二中2015－2016学年度下学期第一次模拟考试高三（16届）数学（理）试题试卷答案一、选择题：题号123456789101112答案BCADBBDDBBBA二、填空题：13.132y14.2415.816.(,1][3,)三、解答题17.解（Ⅰ）∵cos∠ABC13………………………………2在△ABC中，设BC=a，AC=3b∴9b2＝2443aa①…………5在△ABD中，cos∠ADB＝2164431633bb在△BDC中，cos∠BDC＝22163833bab……………………7cos∠ADB=－cos∠BDC2164431633bb=－22163833bab②由①②∴BC=3……………………9（Ⅱ）……………………1218.解：(Ⅰ)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10。………2所以平均数为；……………………4方差为…………6-6-(Ⅱ)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21。事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y=17)=。同理可得P(Y=18)＝14；P(Y=19)=14；P(Y=20)=14；P(Y=21)=18。所以，随机变量Y的分布列为：Y1718192021P…………10EY=17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19。……………………1219.解：（Ⅰ）取A1B1的中点F，连接FC1，EF，设EFA1B=G，连接CD，……1由作图过程易得：四边形CEFC1为平行四边形，EC∥AA1。在△AA1B中，点E是AB的中点，∴点G是A1B的中点，EG=AA1=CC1。……………………………3又CE∥平面A1BD，CEEFC1C，且平面EFC1CA1BD=DG，∴DG∥CE，又∵EG∥CD∴四边形CEGD为平行四边形，CD=EG=CC1，∴点D是CC1的中点……………………………6（Ⅱ）由（Ⅰ）知EF∥AA1，AA1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC又△ABC是边长为2的等边三角形，点E是AB的中点，∴CE⊥AB且CE=。如图，建立空间直角坐标系E-xyz，设EF=2h，…………………7则B(1,0,0)，C(0,,0)，F(0,0,2h)，A1(-1,0,2h)，D(0,,h)，1(1,3,)ADh，(1,3,)BDh，1(2,0,2)BAh，由A1D⊥BD可知：10ADBD，h=2…………………8由z轴⊥平面ABC可得：平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)。…………9设平面A1BD的法向量为=(x,y,z)，EDCBAzyxGF-7-由100BAnBDn，得，令x=，则,∴cos,=，∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为。20.-8-21.解：(Ⅰ)，若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，则，即有，∴2a+121，…………………2则由f(x)0得0x1或x2a+1；由f(x)0得1x2a+1。∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，（2a+1,+(1,2a+1)。……5(Ⅱ)∵，∴(2a+1)[4,6],由(Ⅰ)知f(x)在[1,2]上为减函数。不妨设1≤x1x2≤2，则f(x1)f(x2)，，∴原不等式即为：f(x1)-f(x2)，即，对任意的，x1，x2[1,2]恒成立。……7-9-令g(x)=f(x)-，∴对任意的，x1，x2[1,2]有g(x1)g(x2)恒成立，∴g(x)=f(x)-在闭区间[1，2]上为增函数，∴对任意的，x[1,2]恒成立。……………………9而，化简得，即≥0，其中。∵[1,2]，，只需，即对任意x[1,2]恒成立，令，x[1,2]，恒成立，∴在闭区间[1,2]上为减函数，则。由，解得。……1222．解：（I）∵OCOD，∴OCDODC，∴OCAODB.∵BODA，∴OBD∽AOC，∴BDODOCAC，∵6,4OCODAC，∴664BD，∴9BD.（II）∵,OCOECEOD，∴CODBODA.∴00180180AODAODCCODOCDADO.∴ADAO.23．解（I）直线:lyx，曲线22:12xCy.-10-（II）设点00(,)Mxy及过点M的直线为01022:22xxtlyyt（t为参数）.由直线1l与曲线C相交可得：222000032222202ttxtyxy，8||||3MAMB2200228||332xy，即：220026xy，2226xy表示一椭圆，取yxm代入2212xy，得：2234220xmxm，由0得33m，故点M的轨迹是椭圆2226xy夹在平行直线3yx