辽宁省鞍山市2017届高三数学下学期第一次质量检测试题文

1鞍山市2017年高中毕业班第一次质量调查数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集UR，集合13Axx，集合24xBx，则UAB∩ð（）A．12xxB．12xxC．02xxD．11xx2．若复数z满足112zii，其中i为虚数单位，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列四个函数中，在区间0,1上是减函数的是（）A．2logyxB．1yxC．2xyD．23yx4．已知向量ar，br满足1ar，abarrr，2abbrrr，则向量ar，br的夹角为（）A．6B．4C．3D．345．在明朝程大位所著《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌．“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，全塔总共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？据此，你算出顶层悬挂的红灯的盏数为（）A．5B．4C．3D．46．执行下图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S（）2A．7B．6C．5D．47．已知函数cossin4fxxx，则函数fx满足（）A．最小正周期为2TB．图象关于点2,84对称C．在区间0,8上为减函数D．图象关于直线8x对称8．一空间几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为85123，则正视图与侧视图中x的值为（）A．2B．3C．4D．59．已知log11afxx（0a且1a）恒过定点M，且点M在直线1xymn（0m，0n）上，则mn的最小值为（）A．322B．8C．42D．410．已知点P在抛物线24xy上，则当点P到点1,2Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．2,1B．2,1C．11,4D．11,411．已知函数3cosxfxx的定义域为,22，当2ix1,2,3i时，若120xx，230xx，130xx，则有123fxfxfx的值（）A．恒小于零B．恒等于零C．恒大于零D．可能大于零，也可能小于零312．过双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点,0Fc作圆222xya的切线，切点为M.直线FM交抛物线24ycx于点N，若2OFONOMuuuruuuruuur（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．52B．512C．5D．15第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若x，y满足约束条件10,20,220,xyxyxy，则2zxy的最小值为．14．已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为．15．已知等差数列na中，1tan225a，5113aa，设nS为数列1nna的前n项和，则2017S．16．给出下列四个命题：①“若5xy，则2x或3y”是假命题；②已知在ABCV中，“AB”是“sinsinAB”成立的充要条件；③若函数314logaaxafxx11xx，对任意的12xx都有2121fxfxxx，则实数a的取值范围是1,17；④若实数x,1,1y，则满足221xy的概率为14.其中正确的命题的序号是（请把正确命题的序号填在横线上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知锐角ABCV的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b，3c，ABCV的面积为332，又2ACCDuuuruuur，记CBD.（Ⅰ）求a，A，cosB的值；（Ⅱ）求cos2的值.418．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间（满分100分，成绩不低于40分），现将成绩按如下方式分成6组：第一组40,50；第二组50,60；……；第六组90,100，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间90,100内的概率.19．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD的平行四边形，60ADC，12ABAD，PA面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）求证：ABPC（Ⅱ）若PAAB122AD，求三棱锥PAEC的体积.20．已知函数21ln2fxxaxx，aR.5（Ⅰ）当0a时，求函数fx在1,1f处的切线方程；（Ⅱ）令1gxfxax，求函数gx的极值；（Ⅲ）若2a，正实数1x，2x满足12120fxfxxx，证明：12512xx.21．过椭圆C：22221xyab0ab上一点P向x轴作垂线，垂足为右焦点F，A、B分别为椭圆C的左顶点和上顶点，且ABOP∥，63AF.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动直线l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆恒过坐标原点O.问是否存在一个定圆与动直线l总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cossinxayb（0ab，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线1C上的点31,2M对应的参数3，射线3与曲线2C交于点1,3D.（Ⅰ）求曲线2C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点1,A，2,2B在曲线1C上，求221211的值.23．选修4-5：不等式选讲设函数52fxxxa，xR.（Ⅰ）当12a时，求不等式4fx的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式fxa在R上恒成立，求实数a的最大值.鞍山市2017年第一次质量调查数学（文科）参考答案一、选择题61-5:BCBDC6-10:ADBAD11、12：CB二、填空题13．414．815．302516．②④三、解答题17．解：（1）由ABCV的面积为332，有33sin2ABCSbcAV，即13323sin22A，得3sin2A，又A为锐角，故3A再由余弦定理：2222cosabcbA2223223cos73，得7a，222cos2acbBac222732277273.（2）由2ACCDuuuruuur，知1CD，由ABCV为正三角形，即3BD，且221sin1cos7BB，所以coscos3Bcoscossinsin33BB12732157272714，所以2cos22cos11114.18．解：（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间80,90内的频率为10.00520.0150.0200.045100.1，所以平均分0.05450.15550.45650.20750.10850.059568分，众数的估计值是65分（2）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间90,100内”，由题意可知成绩在区间80,90内的学生所选取的有：400.14，记这4名学生分别为a，b，c，d，成绩在区间90,100内的学生有0.00510402（人），记这2名学生分别为e，f，则从这6人中任选2人的基本事件事件空间为：,,,,,,abacad,,,,,aeafbc,,,,,,bdbebfc,,c,,,,,,decfde,,,dfef共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间90,100内”的可能结果为：7,,,,,,Aaeafbe,,,,,,bfcecf,,,,,dedfef，共九种，所以93155PA.故所求事件的概率为：93155PA.19．解：（1）证明：因为PA面ABCD，又AB平面ABCD所以ABPA，又因为60ABCADC，1122ABADBC，在ABCV中，由余弦定理有：222ACABBC2cos60ABBC22BCAB所以222ABACBC，即：ABAC，又因为PAACA∩，又PA平面PAC，AC平面PAC，所以AB平面PAC，又PC平面PAC，所以ABPC.（2）由已知有：122PAABAD，所以2PAAB，4AD,因为PA面ABCD且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为112PA，所以PAECDAECEADCVVV1132ADCSPAV11243223sin601320．解：（1）当0a时，lnfxxx，则11f，所以切点为1,1，又11fxx，则切线斜率12f，故切线方程为121yx，即210xy.（2）1gxfxax21ln112xaxax，8则11gxaxax211axaxx，当0a时，0xQ，0gx.gx在0,上是递增函数，函数gx无极值点，当0a时，211axaxgxx11axxax，令0gx得1xa，当10,xa时，0gx；当1,xa时，0gx.因此gx在10,a上是增函数，在1,a上是减函数.1xa时，gx有极大值2111ln2agaaa1111ln2aaaa.综上，当0a时，函数gx无极值；当0a时，函数gx有极大值1ln2aa（3）证明：当2a时，2lnfxxxx，0x由12120fxfxxx，即21112lnlnxxxx222120xxxx从而21212xxxx1212lnxxxx令12txx，则lnttt，得111tttt，可知x在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增.11t212121xxxx因为10x，20x12512xx21．解：（1）由题意得2,bPca，所以2OPbkac，ABbka.由ABOP∥得2bbaca，解得bc，2ac，9由63AFac，得3bc，6a，椭圆C的方程为22163xy.（2）假设存在这样的圆.设11,Mxy，22,Nxy.由已知，以MN为直径的圆恒过原点O，即OMONuuuruuur，所以12120xxyy.当直线l垂直于x轴时，12xx，12yy，所以22110x