得胜高中20152016学年第一学期期末考试高二数学理试卷

2015～2016学年第一学期期末考试试卷高二数学（理科）注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）（A）pq（B）pq（C）()pq（D）()pq（2）椭圆2214yx的离心率为（）（A）52（B）32（C）5（D）3（3）函数exyx的导函数y（）（A）exx（B）ex（C）(1)exx（D）1ex（4）命题“对任意xR,都有2ln2x”的否定为（）（A）对任意xR,都有2ln2x（B）不存在xR,有2ln2x（C）存在xR,使得2ln2x（D）存在xR,使得2ln2x（5）“0xy”是“22xy”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）可导函数在闭区间的最大值必在()取得（A）极值点(B)导数为0点(C)极值点或区间端点(D)区间端点（7）设变量,yx满足约束条件320,0,36xyxyy则2zxy的最小值为（）（A）7（B）6（C）1（D）2（8）已知曲线2ln4xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()(A)3(B)2(C)2,1(D)12(9)已知22xy，则93xy的最小值为()（A）2（B）32（C）6（D）9（10）设正方体ABCDABCD的棱长为a，AC与BD相交于点O,则（）（A）2ABACa(B)22ABACa(C)12ABAOa(D)2BCDAa（11）已知抛物线方程为24yx，点Q的坐标为2,3,P为抛物线上动点，则点P到准线的距离与到点Q的距离之和的最小值为（）（A）3（B）22（C）11（D）10（12）已知离心率52e的双曲线C:22221(0,0)xyabab右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为()（A）22（B）3（C）4（D）5第II卷二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）（13）抛物线24yx的准线方程为.（14）在等比数列na中，13245,10aaaa，则数列na的前6项的和为.(15)下列命题中：①命题:PxR使得2210x”，则￢P是假命题；②“若0xy，则,xy互为相反数”的逆命题为假命题；③xR，若102x，则1002x”；④命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，其中真命题的序号是．(16)曲线M的方程为2222(1)(1)4xyxy，直线(1)ykx交曲线M于,AB两点，点(1,0)C，则△ABC的周长为.三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)（17）(本小题满分10分)平面内动点G到点(2,0)F的距离与到直线2x距离相等.（Ⅰ）求动点G的轨迹方程C；（Ⅱ）设过点F的直线l交动点G的轨迹于1122(,),(,)AxyBxy两点，求12yy值.（18）(本小题满分12分)已知函数32()fxxaxb，曲线()yfx在点(2,4)处的切线方程为440xy.（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）求函数()fx在[1,3]上的最大值.（19）(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABCABC中,ACAB,2ACAB,41AA,点D是BC的中点.（Ⅰ）求直线BA1与直线DC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面1ADC与平面1ABA所成二面角的正弦值.（20）（本小题满分12分）设,AB分别是直线255yx和255yx上的动点，且||25AB，设O为坐标原点，动点P满足OPOAOB.（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为1的直线不经过原点O，且与动点P的轨迹相交于,CD两点，M为线段CD的中点，直线CD与直线OM能否垂直？证明你的结论.（21）（本小题满分12分）如图，已知三棱锥OABC，4OA，5OB，3OC，060AOBBOC，090COA，M，N分别是,OABC的中点，设OAauur，OBbuuur，OCcuuur.（Ⅰ）用,,abc表示MNuuur和ACuuur；（Ⅱ）求直线MN与直线AC所成的角的余弦值.（22）（本小题满分12分）已知椭圆C:12222byax)0(ba的离心率为22，左焦点为(1,0)F，过点(0,2)D且斜率为k的直线l交椭圆于,AB两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求k的取值范围；（Ⅲ）在y轴上是否存在定点E，使AEBE恒为定值？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．OBCNAM2015~2016学年度第一学期期末考试高二数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）B；（2）B；（3）C；（4）D；（5）A；（6）C；（7）A；（8）B；(9)C；（10）A；（11）D；（12）C．二.填空题（13）1x（14）63(15)①④(16)8三.解答题（17）解：（I）由题意得，动点G的轨迹是抛物线，……………………………………………2分∴2,42pp.………………………………………………………3分∴动点G的轨迹方程2:8Cyx.……………………………………5分（II）设直线:2lxmy，联立方程组228xmyyx………………7分化简整理，得28160ymy.………………9分∴1216yy.………………10分（18）解：（I）2()32fxxax..………………2分由已知有'(2)4,(2)4.ff即844,1244.aba....................4分解得：2,4.ab...................5分（II）32()24fxxx，2()34fxxx.令124'()00,.3fxxx，得..................................8分x1(1,0)04(0,)3434(,3)33fx+0-0+fx1增函数极大值4减函数极小值7627增函数13………………………………………………………………………………………….10分由表可知，当1,3x时，fx最大值为313f.………………………12分（19）解:（I）以1,,AAACAB为正交基底建立空间直角坐标系xyzA,则)0,0,0(A)0,0,2(B,)0,2,0(C,)4,0,0(1A,)0,1,1(D,)4,2,0(1C.………………………3分∴)4,0,2(1BA，(,,)CD1114.……………4分∴10103182018,cos111111DCBADCBADCBA，∴异面直线BA1与DC1所成角的余弦值为10103.………………………6分（II）)0,2,0(AC是平面1ABA的一个法向量.………………………7分设平面1ADC的法向量为m(,,)xyz,∵)0,1,1(AD,)4,2,0(1AC由m,ADmAC1.…………………………………8分∴0420zyyx取1z,得2,2xy,∴平面1ADC的法向量为m(,,)221.…………………………………9分设平面1ADC与平面1ABA所成二面角为，∴coscos,42233ACmACmACm,………………………10分得35sin，∴平面1ADC与平面1ABA所成二面角的正弦值为35.……………12分（20）解：（Ⅰ）设11222525(,),(,),(,)55AxxBxxPxy，………………………1分∵OPOAOB，∴121225,()5xxxyxx.………………3分∵||25AB，∴221212252520()()55xxxx，……………5分22542045yx，∴动点P的轨迹方程2212516xy.……………………6分（Ⅱ）直线CD与直线OM不垂直.设3344(,),(,)CxyDxy，223322441251612516xyxy………………………………………8分34343434()()(y)()02516xxxxyyy，………………………10分∵直线CD的斜率为1，∴3434()16()25yyxx，………………………………………………………11分∴直线OM的斜率为1625，∴直线CD与直线OM不垂直.…………………12分（21）解：（Ⅰ）111()()222MNONOMbcabcauuuruuuruuur，2分ACcauuur.······························4分（Ⅱ）设直线MN与AC所成的角为，21()()4MNMNMNbcabcauuuruuuruuurgg2221(222)4abcbcabacggg222145(45315200)44.···················6分222()()2ACACACcacaacacuuuruuuruuurggg2243025.···························8分2211()()(2)22MNACbcacabccabacauuuruuurggggg11545(910016)224.·····················10分45354coscos,104554MNACMNACMNACuuuruuuruuuruuurguuuruuur.···········12分（22）解：（Ⅰ）由已知可得221cac，得222,1ab，2212xy。（Ⅱ）设点D(0,2)且斜率为k的直线:2.lykx由22122xyykx，化简，得22(12)860.kxkx则2226424(12)16240kkk62k或62k所以k的取值范围是66(,)(,)22．……5分（Ⅲ）设1122(,),(,)AxyBxy，则12122286,1212kxxxxkk．又2212121212224(2)(2)2()421kyykxkxkxxkxxk，12121224(2)(2)()421yykxkxkxxk．……6分假设存在点(0,)Em，则11(,)AExmy，22(,)BExmy，所以2121212()AEBExxmmyyyy124212412622222kkkmmk2222(22)41021mkmmk，……8分要使得AEBEt(t为常数)，只要2222(22)41021mkmmtk，从而222(222)4100mtkmmt，即222220,(1)4100,(2)mtmmt