甘肃省兰州市第一中学20192020学年高二下学期4月月考数学文试题答案

兰州一中2020年高二年级4月月考试卷数学文科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°2.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确3.曲线)43sin(2212的中心在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为A.eB.－eC.1eD.－1e5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′(1)等于A.－eB.－1C.1D.e6.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于A.28B.76C.123D.1997.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是A.甲，丙B.乙，丁C.丙，丁D.乙，丙8.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)9.函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)10.已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为A.x＋y－1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝011.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为A.－1B.－2e－3C.5e－3D.112.已知奇函数f(x)＝exx－1（x0），h（x）（x0），则函数h(x)的最大值为A.1B.1－eC.e－1D.e+1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.15.6＋7与22＋5的大小关系为________.16.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题10分）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤1318.（本小题12分）已知函数f(x)＝x22－alnx，a∈R，讨论f(x)的单调性.19.（本小题12分）已知a∈R，若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围.20.（本小题12分）已知曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝t2，y＝2＋3t(t为参数).(1)写出直线l与曲线C的普通方程；(2)设曲线C经过伸缩变换x′＝x，y′＝12y得到曲线C′，过点F(3，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.21.（本小题12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.22．（本小题12分）已知f(x)＝(1－x)ex－1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)＝f（x）x，x－1且x≠0，证明：g(x)1.兰州一中2020年高二年级4月月考试卷数学文科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）三、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°答案B2.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案C3.曲线)43sin(2212的中心在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D4.已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为A.eB.－eC.1eD.－1e答案C5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′(1)等于A.－eB.－1C.1D.e答案B6.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于A.28B.76C.123D.199答案C7.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是A.甲，丙B.乙，丁C.丙，丁D.乙，丙解析甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D.答案D8.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)答案B9.函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)答案B10.已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为A.x＋y－1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝0答案B11.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1答案A12.已知奇函数f(x)＝exx－1（x0），h（x）（x0），则函数h(x)的最大值为A.1B.1－eC.e－1D.e+1答案B第Ⅱ卷（非选择题共90分）四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.答案6n＋214.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.答1∶815.6＋7与22＋5的大小关系为________.答案6＋722＋516.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________.答案(－3，0)∪(0，＋∞)三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题10分）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤13证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.19.（本小题12分）已知函数f(x)＝x22－alnx，a∈R，讨论f(x)的单调性.解因为f(x)＝x22－alnx，所以x∈(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax＝x2－ax.(1)当a≤0时，f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.(2)当a0时，f′(x)＝（x＋a）（x－a）x，则有①当x∈(0，a)时，f′(x)0，所以f(x)的单调递减区间为(0，a).②当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(a，＋∞).综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.当a0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞).19.（本小题12分）已知a∈R，若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围.解因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立.因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1，1)都成立.因为ex＞0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0，则a≥x2＋2xx＋1＝（x＋1）2－1x＋1＝(x＋1)－1x＋1对x∈(－1，1)都成立.令g(x)＝(x＋1)－1x＋1，则g′(x)＝1＋1（x＋1）2＞0，所以g(x)＝(x＋1)－1x＋1在(－1，1)上单调递增，所以g(x)＜g(1)＝(1＋1)－11＋1＝32，所以a≥32，又当a＝32时，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以a的取值范围是32，＋∞.20.（本小题12分）已知曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝t2，y＝2＋3t(t为参数).(1)写出直线l与曲线C的普通方程；(2)设曲线C经过伸缩变换x′＝x，y′＝12y得到曲线C′，过点F(3，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.解(1)直线l的普通方程23x－y＋2＝0.曲线C的普通方程为x2＋y2＝4.(2)由x′＝x，y′＝y2，得x＝x′，y＝2y′，代入曲线C，得x′2＋4y′2＝4，即x′24＋y′2＝1.则曲线C′的方程为x24＋y2＝1表示椭圆.由题设，直线AB的参数为x＝3＋t2，y＝32t(t为参数).将直线AB的参数方程代入曲线C′：x24＋y2＝1.得134t2＋3t－1＝0，则t1·t2＝－413，∴|FA|·|FB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝413.21.（本小题12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解(1)曲线C1的普通方程为x23＋y2＝1.又曲线C2：ρsin