辽宁省朝阳市重点中学20142015学年高二数学上学期期末联考试卷答案

1朝阳市重点中学2014-2015学年度高二上学期期末联考数学试卷注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与向量a＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为()（A）(1,3,2)（B）(-1，-3,2)（C）(-1,3，-2)（D）(1，-3，-2)2．已知(2,0)M，(2,0)N，||3|PMPN|，则动点P的轨迹是（）21（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线3.已知命题p：Rx,cos1x，则p是（）（A）0xR,1cos0x（B）xR,1cosx（C）0xR,1cos0x（D）xR,1cosx4.已知函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，那么函数()fx的图象最有可能的是（）5．“acbd”是“ab且cd”的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6．设等比数列{}na的公比2q，前n项和为nS，则24aS的值为（）（A）154（B）152（C）74（D）727．下列命题中，真命题是()（A）∃x0∈R，0xe≤0（B）∀x∈R,2x＞x2（C）双曲线122yx的离心率为222（D）双曲线1422yx的渐近线方程为xy28．已知实数xy，满足2203xyxyy，，，则2zxy的最小值是（）（A）5（B）52（C）5（D）529．已知12(1,0),(1,0)FF是椭圆的两个焦点，过1F的直线l交椭圆于,MN两点，若2MFN的周长为8，则椭圆方程为（）（A）13422yx（B）13422xy（C）1151622yx（D）1151622xy10．设33,(3),32xyxyxyMNP（yx,R,且yx），则,,MNP大小关系为（）（A）MNP（B）NPM（C）PMN（D）PNM11.四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，),4,1,2(AB),1,2,1(),0,2,4(APAD则直线PA与底面ABCD的关系是()（A）平行（B）垂直（C）在平面内（D）成60°角12.对12,(0,)2xx，若21xx，且1111sinxyx，2221sinxyx，则()（A）y1＝y2（B）y1y2（C）y1y2（D）y1，y2的大小关系不能确定第II卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线yx22的焦点F到准线l的距离是.14.nS为等差数列{}na的前n项和，266aa，则7S.15．曲线lnyxx在点（1,1）处的切线方程为.16.过点)3,22(的双曲线C的渐近线方程为,23xyP为双曲线C右支上一点，F为双曲线C的左焦点，点),3,0(A则PFPA的最小值为.三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A为B，C的等差中项.3(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c的值.18．(本小题满分12分)已知函数32()23128fxxxx.(Ⅰ)求函数()fx的单调区间；(Ⅱ)若[2,3]x，求函数()fx的值域.19．(本小题满分12分)已知ABCD为直角梯形，o90ABCDAB,PA平面ABCD，.1,2ADBCABPA(Ⅰ)求证：BC平面PAB;(Ⅱ)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为2，且16OAFA.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点)0,8(M作直线l交抛物线于B，C两点,求证:OCOB.421．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，21ABAA.(Ⅰ)求直线1AB与平面CCAA11所成角的正弦值；(Ⅱ)在线段1AA上是否存在点D？使得二面角11CDCB的大小为60°，若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）设一个焦点为（-1,0),且离心率22e的椭圆2222:1(0)xyCabab上下两顶点分别为,AB,直线2ykx交椭圆C于QP,两点,直线PB与直线12y交于点M.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求证：,,AMQ三点共线.高二数学参考答案与评分标准5一、选择题1．C；2．D；3.C；4.A；5．B；6．B；7．D；8．C；9．A；10．D；11.B；12．B．二、填空题13.1；14.21；15.12xy；16.8．三、解答题17．解：(Ⅰ)∵A为B，C的等差中项，2ABC，············2分∵ABC,∴A＝π3.·······················4分(Ⅱ)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.···············6分而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.··················8分解得b＝c＝2.·····························10分18.解：(Ⅰ)2()=6612fxxx，.当()0fx，时，2x或1x；······················2分当()0fx，时，12x.························4分∴函数()fx的单调增区间为(,1)和(2,)；函数()fx的单调减区间为(1,2)。·····················6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()(1)2312815fxf极大值；()(2)161224812fxf极小值.又因为(2)4,(3)1,ff······················10分所以函数()fx的值域为].15,12[···················12分19.解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，可得)2,0,0(),0,1,0(),0,2,2(),0,0,2(PDCB。·················2分（Ⅰ）证明法一：因为)2,0,0(),0,0,2(),0,2,0(APABBC，所以0,0APBCABBC,·······················4分所以APBCABBC,,APABAI,PA平面PAB，AB平面PAB，所以BC平面PAB.···························6分证明法二：因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC,又因为ABC=90°，即BCAB，APABAI,PC平面PAB，AB平面PAB，所以BC平面PAB.···························6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PAB的一个法向量)0,1,0(1n，设平面PCD的法向量),,(2zyxn，又)2,1,0(),2,2,2(PDPC,且,0,022PDnPCnACDBPyx6所以,02,0222zyzyx所以平面PCD的一个法向量为),1,2,1(2n所以,36,cos212121nnnnnn所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为36.···········12分20.解：（Ⅰ）由题设抛物线的方程为：22ypx)0(p，则点F的坐标为(,0)2p，点A的一个坐标为(2,2)p，··········2分∵16OAFA，∴(2,2)(2,2)162ppp，·············4分∴4416pp，∴4p，∴28yx.················6分（Ⅱ）设B、C两点坐标分别为11(,)xy、22(,)xy，法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为8xky方程组28,8yxxky得28640yky，12128,64yykyyg因为1122(,),(,),OBxyOCxyuuuruuur所以12121212(8)(8)uuuruuurOBOCxxyykykyyy21212(1)8()64kyykyyy=0，所以OCOB.法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为8x，此时),8,8(),8,8(CB即),8,8(),8,8(OCOB有,06464OCOB所以OCOB.……8分②当l的斜率存在时，设l的方程为).8(xky方程组),8(,82xkyxy得.0648,064)816(22222kykykxkxk所以,64,642121yyxx·························10分因为1122(,),(,),OBxyOCxyuuuruuur所以,064642121yyxxOCOB所以OCOB.由①②得OCOB.····························12分21.解：如图，以AC中点为原点建立空间直角坐标系，可得111(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,3,2),(1,02)ABCABC，.（Ⅰ）所以)2,3,1(1AB，平面CCAA11的一个法向量).10,0(1nC1B1A1BCzy7所以46,cos111111nABnABnAB，所以直线1AB与平面CCAA11所成角的正弦值为46.………6分（Ⅱ）假设存在满足条件的点D，设AD=)20(mm，则),0,1(mD，设平面DCB1的法向量),,(2zyxn，因为)2,3,1(1CB,),0,2(mCD，且,0,0212CDnCBn所以,02,023mzxzyx所以平面DCB1的一个法向量)2,34,(2mmn又因为平面DCC1的一个法向量).10,0(1n所以,2143)4(34222121mmmnnnn解得23m，因为20m，此时23AD,所以存在点D，使得二面角B1—DC—C1的大小为60°.……………………12分22.解：(Ⅰ)由题知1c，22cea，∴2,1ab，···········3分∴椭圆22:12xCy.·························4分(Ⅱ)设点1122(,),(,)PxyQxy，由(Ⅰ)知(0,1),(0,1)AB∴直线PB的方程为1111yyxx，∴1131(,)2(y1)2xM.··········5分∴11111132332(y1)AMkxkxx，222211AQykxkxx，··········8分21121221121343()33AQAMkxkxkxxxxkkxxxx由方程组22122xyykx化简得:22(21)860kxkx,226424(21)0kk,232k.12122286,2121kxxxxkk·····················10分8∴2212121212242443()2121033AMAQkkkxxxxkkkkxxxx,∴,,AMQ三点共线.··························12分