通用版2020版高考数学大二轮复习专题突破练16热点小专题二球与多面体的内切外接理

专题突破练16热点小专题二球与多面体的内切、外接一、选择题1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.πC.8πD.4π2.(2019江西九江一模,文9)《九章算术》卷第五《商功》中,有“贾令刍童,上广一尺,袤二尺,下广三尺,袤四尺,高一尺.”,意思是:“假设一个刍童,上底面宽1尺,长2尺;下底面宽3尺,长4尺,高1尺(如图).”(注:刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形,两底面的中心连线与底面垂直的几何体),若该几何体所有顶点在一球的表面上,则该球体的表面积为()A.46π平方尺B.41π平方尺C.40π平方尺D.36π平方尺3.(2019山东济宁一模,理9)《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的体积为()A.√πB.√πC.6πD.8π4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的直径为()A.13B.4√C.2√D.2√5.(2019山东潍坊二模,理8)一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2,则该四面体外接球的表面积为()A.6πB.12πC.32πD.48π6.(2019北京朝阳一模,理7改编)某三棱锥的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1),则该三棱锥的外接球的体积为()A.4πB.2√πC.6√πD.4√π7.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=9°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π8.如图②,需在正方体的盒子内镶嵌一个小球,使得镶嵌后三视图均为图①所示,且面A1C1B截得小球的截面面积为π,则该小球的体积为()A.πB.πC.πD.√π9.已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为()A.32√πB.48πC.24πD.16π10.(2019四川第二次诊断,理10)已知一个几何体的正视图,侧视图和俯视图均是直径为10的圆(如图),这个几何体内接一个圆锥,圆锥的体积为27π,则该圆锥的侧面积为()A.9√πB.12√πC.10√πD.√π11.(2019山西吕梁一模,文12)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=4,AB=2,且SA+SD=8,当该四棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为()A.20πB.25πC.πD.π12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A.√B.√C.√D.√二、填空题13.(2019四川成都二模,理14)已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的表面上,若AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=√,则球O的表面积为.14.(2019河北唐山一模,理15)在四面体ABCD中,AB=BC=1,AC=√,且AD⊥CD,该四面体外接球的表面积为.15.(2019湖南六校联考,理15)在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥P-ABCD为阳马,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r,则=.16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.参考答案专题突破练16热点小专题二球与多面体的内切、外接1.A解析设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,故2r=√,则r=√所以该球的表面积为π×(√)2=π,故选A.2.B解析由已知得球心在几何体的外部,设球心到几何体下底面的距离为x,则R2=x2+2=(x+1)2+√2,解得x=2,∴R2=,∴该球的表面积S=π.故选B.3.A解析根据几何体的三视图可知几何体为底面为腰长为√的直角等腰三角形,高为2的直三棱柱.设外接球的半径为R,则(2R)2=(√)2+(√)2+22,解得R=√,所以V=π(√)3=√π故选A.4.A解析由题意可知,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O的半径R=√,故球O的直径为13.故选A.5.B解析如图,在四面体ABCD中,∠ABD=∠ABC=∠BCD=∠ACD=9°,AB=BC=CD=2,可得BD=2√,AD=2√,设AD的中点为O,连接OB,OC,则OB=OC=OA=OD,所以AD的中点O即为外接球的球心,故球O半径为√,其表面积为π,故选B.6.D解析由三视图得该几何体的直观图如图所示.将该三棱锥补形为正方体,如图所示.所以该三棱锥的外接球的体积等于补形后正方体外接球的体积,所以球的直径等于正方体的体对角线长,即2R=√=2√,所以球的体积为V=π(√)3=4√π7.C解析由△AOB的面积确定可知,若三棱锥O-ABC的底面OAB上的高最大,则其体积最大.因为高最大为半径R,所以VO-ABC=R2×R=36,解得R=6,故S球=πR2=π.8.B解析设正方体盒子的棱长为2a,则内切球的半径为a,平面A1BC1是边长为2√a的正三角形,且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点,∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,则由图得,△A1BC1内切圆的半径是√a×tan°=√a,则所求的截面圆的面积是π·√a2=πa2=π,故a=1,∴该小球的体积为V球=π13=π9.A解析由题意画出几何体的直观图如图,把A,B,C,D扩展为三棱柱,上下底面中心的中点与A的距离为球的半径,AD=2AB=6,OE=3,△ABC是正三角形,AE=√3=√,AO=√√=2√故所求球的体积为π(2√)3=32√π10.A解析几何体的轴截面如图所示,设圆锥的底面半径为r,由题意可得π×r2×(√-+5)=π,解得r=3,所以该圆锥的侧面积为π√9=9√π故选A.11.D解析当点S到底面ABCD的距离最大时,四棱锥的体积最大,这时△SAD为等边三角形,S到底面ABCD的距离为2√且平面SAD⊥平面ABCD.设球心O到平面ABCD的距离OE=x,则由OD=OS,得x2+5=(2√-x)2+1,所以x=√,所以四棱锥外接球的半径R=√√9,所以四棱锥外接球的表面积为S=πR2=π故选D.12.A解析∵SC是球O的直径,∴∠CAS=∠CBS=9°.∵BA=BC=AC=1,SC=2,∴AS=BS=√取AB的中点D,显然AB⊥CD,AB⊥SD,∴AB⊥平面SCD.在△CDS中,CD=√,DS=√,SC=2,利用余弦定理可得cos∠CDS=-·=-√,∴sin∠CDS=√√,∴S△CDS=√√√√√,故V=VB-CDS+VA-CDS=S△CDS×BD+S△CDS×AD=S△CDS×BA=√1=√13.π解析(法一)如图,取CD的中点E,连接BE,可得BE=√√√,设等边三角形BCD的中心为G,则BG=√√,∴AG=√-√√设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R,则R2=BG2+OG2,即R2=√2+√-R2,解得R=√∴球O的表面积为πR2=π.(法二)∵AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=√,∴由勾股定理的逆定理得三棱锥的三个侧面都是全等的直角三角形,将三棱锥补形为正方体,则其外接球的直径为正方体的体对角线,∴2R=√√,故球O的表面积为πR2=π.14.π解析如图所示,由AB=BC=1,AC=√,得AB⊥BC,所以△ABC和△DAC都是直角三角形.△ABC外接圆的圆心是AC的中点,△DAC外接圆的圆心也是AC的中点,且两个三角形的外接圆都是球的大圆,所以球半径R=AC=√,所以S球=πR2=π.15√解析易知该阳马补形所得到的长方体的体对角线为外接球的直径,所以(2R)2=AB2+AD2+AP2=42+42+32=41,R=√因为侧棱PA⊥底面ABCD,且底面为正方形,所以内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆,则内切球半径为1,故√16.π解析取SC的中点O,连接OA,OB.因为SA=AC,SB=BC,所以OA⊥SC,OB⊥SC.因为平面SAC⊥平面SBC,且OA⊂平面SAC,所以OA⊥平面SBC.设OA=r,则VA-SBC=S△SBC×OA=2r×r×r=r3,所以r3=9,解得r=3.所以球O的表面积为πr2=π.