圆锥曲线与方程测试题及参考答案

高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案第1页共6页高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案（时间120分钟总分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目意思）1.设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，12PFF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为(C)A.12B.23C.D.2.已知双曲线1C：22221(0,0)xyabab的离心率为2.若抛物线22:2(0)Cxpyp的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为(D)A.2833xyB.21633xyC.28xyD.216xy3.已知1F、2F为双曲线22:2Cxy的左、右焦点，点P在C上，12||2||PFPF，则12cosFPF(C)A.14B.35C.34D.454.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心学率为32.双曲线221xy的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(D)A.22182xyB.221126xyC.221164xyD.221205xy5.已知双曲线22214xyb的右焦点与抛物线212yx的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)A.5B.42C.3D.56.方程22aybxc中的,,{2,0,1,2,3}abc，且,,abc互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有(B)A.28条B.32条C.36条D.48条7.过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于,AB两点,点O是原点,若3AF;则AOB的面积为(C)A.22B.2C.322D.228.椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为(B)A.14B.55C.12D.5-2高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案第2页共6页二、填空题（本大题共7小题，每小题5分,请把答案填在横线上）9.已知双曲线x2－y2=1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2,则∣PF1∣+∣PF2∣的值为23。10.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为2．11.如图1是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽26米。12.椭圆22143xy的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点A、B,当FAB的周长最大时,FAB的面积是32。13.过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于,AB两点，若||3AF，则||BF=32。14.设P为直线3byxa与双曲线22221(0,0)xyabab左支的交点，1F是左焦点，e423。1PF垂直于x轴，则双曲线的离心率图1图215.如图2,双曲线22221(,0)xyabab的两顶点为1A,2A,虚轴两端点为1B,2B,两焦点为1F,2F.若以12AA为直径的圆内切于菱形1122FBFB,切点分别为,,,ABCD.则菱形1122FBFB的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12SS252。三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.已知双曲线221:1.4yCx(1)求与双曲线1C有相同的焦点,且过点(4,3)P的双曲线2C的标准方程；(2)直线:lyxm分别交双曲线1C的两条渐近线于AB、两点.当3OAOB时,求实数m的值.【答案】(1)双曲线1C的焦点坐标为(5,0),(5,0),设双曲线2C的标准方程为22221(0,0)xyabab,则2222225416311ababab,所以双曲线2C的标准方程为A1A2yB2图B1AOBCDF1xF2xx高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案第3页共6页2214xy.(2)双曲线1C的渐近线方程为2yx,设1122(,2),(,2)AxxBxx由222204320yxxmxmyxm,由21600mm又因为2123mxx,而1212122(2)3OAOBxxxxxx所以233mm.17.已知椭圆221:14xCy,椭圆2C以1C的长轴为短轴,且与1C有相同的离心率.(1)求椭圆2C的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆1C和2C上,2OBOA,求直线AB的方程.【答案】(1)由已知可设椭圆2C的方程为2221(2)4yxaa其离心率为32,故2432aa,则4a故椭圆的方程为221164yx(2)解法一,AB两点的坐标分别记为(,),(,)AABBxyxy由2OBOA及(1)知,,,OAB三点共线且点A,B不在y轴上,因此可以设直线AB的方程为ykx将ykx代入2214xy中,得22(14)4kx,所以22414Axk将ykx代入221164yx中,则22(4)16kx,所以22164Bxk由2OBOA,得224BAxx,即221616414kk解得1k,故直线AB的方程为yx或yx解法二,AB两点的坐标分别记为(,),(,)AABBxyxy由2OBOA及(1)知,,,OAB三点共线且点A,B不在y轴上,因此可以设直线AB的方程为ykx将ykx代入2214xy中,得22(14)4kx,所以22414Axk由2OBOA,得22164Bxk,2221614Bkyk将22,BBxy代入221164yx中,得224114kk,即22414kk解得1k,故直线AB的方程为yx或yx.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1C：22221xyab（0ab）的左焦点为1(1,0)F，高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案第4页共6页且点(0,1)P在1C上.(1)求椭圆1C的方程;(2)设直线l同时与椭圆1C和抛物线2C：24yx相切，求直线l的方程.【答案】(1)因为椭圆1C的左焦点为1(1,0)F，所以1c，点(0,1)P代入椭圆22221xyab，得211b，即1b，所以2222abc，所以椭圆1C的方程为2212xy.(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm，2212xyykxm，消去y并整理得222(12)4220kxkmxm，因为直线l与椭圆1C相切，所以2222164(12)(22)0kmkm，整理得22210km①24yxykxm，消去y并整理得222(24)0kxkmxm。因为直线l与抛物线2C相切，所以222(24)40kmkm，整理得1km②综合①②，解得222km或222km。所以直线l的方程为222yx或222yx。19.已知椭圆C：22xa+22yb=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为22，直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值.【答案】(1)由题意得222222acaabc解得2b.所以椭圆C的方程为22142xy.(2)由22(1)142ykxxy得2222(12)4240kxkxk.设点M,N的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，则11(1)ykx，22(1)ykx，2122412kxxk，21222412kxxk.高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案第5页共6页所以|MN|=222121()()xxyy=221212(1)[()4]kxxxx=2222(1)(46)12kkk.由因为点A(2,0)到直线(1ykx）的距离2||12kdk，所以△AMN的面积为221||46||212kkSMNdk.由22||4610123kkk，解得1k.20.如图，动圆2221:Cxyt,1t3,与椭圆2C：2219xy相交于A，B，C，D四点，点12,AA分别为2C的左，右顶点。(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。【答案】(1)设A(0x，0y)，则矩形ABCD的面积S=004|||xy，由220019xy得，220019xy，∴2200xy=2200(1)9xx=220199()924x，当2092x，2012y时，maxS=6，∴t=5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)设1111,,,-AxyBxy，又知12-3,0,3,0AA，则直线1AA的方程为11=+3+3yyxx①直线2AB的方程为11-=-3-3yyxx②由①②得22221221-=-3-3yyxx③由点11,Axy在椭圆0C上，故可得2112+=13xy，从而有22112=1-3xy，代入③得22-=1-3,09xyxy∴直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程为22-=1-3,09xyxy21.在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.（1）求椭圆E的方程；高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案第6页共6页（2）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.【答案】(1)由22420xyx，得22(2)2xy.故圆Ｃ的圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22221(0),xyabab其焦距为2c，由题设知22212,,24,12.2cceacbaca故椭圆Ｅ的方程为：221.1612xy(2)设点p的坐标为00(,)xy，12,ll的斜分率分别为12,.kk则12,ll的方程分别为10102020:(),:(),lyykxxlyykxx且121.2kk由1l与圆22:(2)2cxy相切，得101021221kykxk，即222010020(2)22(2)20.xkxyky同理可得222020020(2)22(2)20xkxyky.从而12,kk是方程0220000(2)22(2)20xkxyky的两个实根，于是202200(2)20,8(2)20,xxy①且20122222.(2)2ykkx由220020201,161221(2)22xyyx得20058360.xx解得02,x或010.5x由02x得03;y由0185x得057,5y它们满足①式，故点Ｐ的坐标为(2,3)，或(2,3)，或1857(,)55，或1857(,)55.