学而思高中题库完整版二项式定理.版块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.学生版

.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库11．二项式定理⑴二项式定理011222...nnnnnnnnnnabCaCabCabCbnN这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nnnnnnnnnCaCabCabCb叫做nab的二项展开式，其中的系数0,1,2,...,rnCrn叫做二项式系数，式中的rnrrnCab叫做二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrnTCab．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式nab的展开式项数为1n项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n．②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．⑷几点注意①通项1rnrrrnTCab是nab的展开式的第1r项，这里0,1,2,...,rn．②二项式nab的1r项和nba的展开式的第1r项rnrrnCba是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．③注意二项式系数（rnC）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是nab这个标准形式下而言的，如nab的二项展开式的通项公式是11rrnrrrnTCab（只须把b看成b代入二项式定理）这与1rnrrrnTCab是不同的，在这知识内容赋值求某些项系数的和与差.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库2里对应项的二项式系数是相等的都是rnC，但项的系数一个是1rrnC，一个是rnC，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,abx，则得公式：12211......nrrnnnnxCxCxCxx．⑥通项是1rTrnrrnCab0,1,2,...,rn中含有1,,,,rTabnr五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：nab展开式的二项式系数是：012,,,...,nnnnnCCCC，从函数的角度看rnC可以看成是r为自变量的函数fr，其定义域是：0,1,2,3,...,n．当6n时，fr的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n时fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式mnmnnCC得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库3由于展开式各项的二项式系数顺次是01211,,112nnnnnnCCC，312123nnnnC，．．．，112...2123....1knnnnnkCk，12...21123...1knnnnnknkCkk，．．．，1nnC．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...nnn），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，rnC的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n是偶数时，1n是奇数，展开式共有1n项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC．当n是奇数时，1n是偶数，展开式共有1n项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122nnnnCC．③二项式系数的和为2n，即012......2rnnnnnnnCCCCC．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2nnnnnnnCCCCCC．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】5231xx的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】若1()nxx展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字典例分析.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库4作答）．【例3】82x展开式中不含4x的项的系数和为A．1B．92C．102D．152【例4】若231nxx展开式的各项系数之和为32，则n_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】6260126(1)xaaxaxax，则0a126aaa______．【例6】在二项式412nxx的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】522xx的展开式中2x的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库5【例8】若423401234(23)xaaxaxaxax，则2202413()()aaaaa的值为_____（用数字作答）．【例9】设5nxx的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若240MN，则展开式中3x的系数为（）A．150B．150C．500D．500【例10】若nx)2(展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是．【例11】若1nxx展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．【例12】在二项式3312nxx的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库6【例13】若10023100012310023xaaxaxaxax，求2202410013599aaaaaaaa的值．【例14】若201(1)(1)(1)(1)(1)nnnxxxaaxax，则01naaa．【例15】若423401234(23)xaaxaxaxax，则2202413()()aaaaa的值为_____（用数字作答）．【例16】若52345012345(2)xaaxaxaxaxax，则12345aaaaa_____．.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库7【例17】已知7270127(12)xaaxaxax，求017||||||aaa．【例18】若72345670123456712xaaaxaxaxaxaxax，求0246aaaa的值．【例19】若423401234(23)xaaxaxaxax，则2202413()()aaaaa的值为（）．A．1B．1C．0D．2【例20】若1002100012100(12)(1)(1)(1)xaaxaxax，则13599aaaa（）A．1001(31)2B．1001(31)2C．1001(51)2D．1001(51)2【例21】已知77012712xaaxaxax，求：⑴1237aaaa；.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库8⑵1357aaaa；⑶0246aaaa．【例22】若10023100012310023xaaxaxaxax，求2202410013599aaaaaaaa的值．【例23】若55432543210(2)xaxaxaxaxaxa，则12345aaaaa________．（用数字作答）【例24】若201(1)(1)(1)(1)(1)nnnxxxaaxax，则01naaa．【例25】若2009200901200912xaaxax，则20091222009222aaa的值为（）A．0B．2C．1D．2.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库9【例26】已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)nnnxaaxaxaxaxnnN≥．⑴当5n时，求012345aaaaaa的值；⑵设22343,2nnnnabTbbbb．试用数学归纳法证明：当2n≥时，(1)(1)3nnnnT．【例27】请先阅读：在等式2cos22cos1()xxxR的两边求导得2(cos2)(2cos1)xx，由求导法则得(sin2)24cos(sin)xxx，化简得sin22sincosxxx．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)CCCCCnnnnnnnnnnxxxxx（xR，整数2n≥），证明：112[(1)1]Cnnkknknxkx；⑵对于整数3n≥，求证：1(1)C0nkknkk．⑶对于整数3n≥，求证①21(1)C0nkknkk；②10121C11nnknkkn．【例28】证明：220C(1)2nknnkknn．.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库10【例29】证明：nnknknkknn20123C(1)(2)(1)(2)．【例30】求证：121C2CC2nnnnnnn【例31】求51xx的二项展开式．【例32】设5432()5101051fxxxxxx，则1()fx等于（）A．51xB．512xC．512xD．51x【例33】设2ai，求11212121212121ACaCaCa.板块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.题库11【例34】已知数列0123aaaa，，，，（00a）满足：112(123)iiiaaai，，，求证：对于任意正整数n，01111011()(1)(1)(1)CCCCnnnnnnnnnnnnfxaxaxxaxxax是一次多项式或零次多项式．【例35】若0()Cniinifmm，则22log(3)log(1)ff等于（）A．2B．12C．1D．3