心流学院(心流数学)—高等数学考研真题训练—一元函数积分学

第三章一元函数积分学一、不定积分的计算【例1】(2006，16题，10分)arcsined.exxx求一、不定积分的计算【例1】(2006，16题，10分)解：arcsined.exxx求22arcsinedarcsinedeeeearcsineed1e1earcsined1exxxxxxxxxxxxxxx－22211eln(1),dd21xttxtxtt令，则2211111ddd12111exxttttt所以221111e1lnln2121e1xxtCt【例2】(2009，16题，10分)1ln(1)(0)xdxxx计算不定积分【例2】(2009，16题，10分)解：1ln(1)(0)xdxxx计算不定积分222112,1(1)xtdttxdxxtt令，得2222222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)1ln(1)()1ln(1)11111ttdttdttttdttdtttt原式222ln(1)11114(1)4(1)2(1)ln(1)111ln1412(1)11111ln(1)ln41112(1)111ln(1)ln(1)(1).22tdtttttttCtttxxxxCxxxxxxxxxxxxCx(07,4分)如图，连续函数)(xfy在区间]2,3[，]3,2[上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间]0,2[，]2,0[的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设xttfxF0d)()(，则下列结论正确的是【例3】【】(A))2(43)3(FF(B))2(45)3(FF(C))2(43)3(FF(D))2(45)3(FFxy32o1123xy32o1123【详解】根据定积分的几何意义，知,21)2(F83)4(21)3(F,)2(43FxttfxF0d)()()(xf是奇函数，所以xttfxF0d)()(为偶函数，所以,)2(43)3()3(FFF选(C).(A))2(43)3(FF(B))2(45)3(FF(C))2(43)3(FF(D))2(45)3(FF本题考查定积分的几何意义，应注意)(xf在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【分析】【例5】(2011，4题，4分)444000cosln,cotln,sinlnxdxKxdxJxdxI设的大小关系是、、则KJIA.IJKB.IKJC.JIKD.KJI解:【例5】(2011，4题，4分)444000cosln,cotln,sinlnxdxKxdxJxdxI设的大小关系是、、则KJIA.IJKB.IKJC.JIKD.KJI同一区间上定积分大小比较最常用的思想就是比较被积函数的大小.由于当时，π04x0sincos1cotxxx又因为lnx为上的单调增函数，所以(0,)故πlnsinlncoslncot,(0,)4xxxx444000lnsindlncosdlncotdxxxxxx即.IKJ(09,4分)使不等式xtttxlndsin1成立的x的范围是（A）)1,0(（B）)2,1(（C）),2(（D）),((09,4分)使不等式xtttxlndsin1成立的x的范围是解：【例6】（A）)1,0(（B）)2,1(（C）),2(（D）),(利用xttx1d1ln，原问题转化为xxtttttxf11d1dsin)(xtttt1d)1sin(,0dsin11xttt当)1,0(t时，0sin1tt，于是0)(xf.【答案】应选(A).【例7】(2005，3题，4分)1220_____.(2)1xdxxx三、定积分计算【例7】(2005，3题，4分)解：1220_____.(2)1xdxxx122220022200sinsincos(2sin)cos(2)1cosarctan(cos).1cos4xtxdxttdtttxxdttt令，则【例8】(2008，17题，9分)2120arcsin_____.1xxdxx计算【例8】(2008，17题，9分)解：2120arcsin_____.1xxdxx计算2212201arcsinarcsinlim.11xxxxxdxxx由于，故是反常积分212222000arcsinsin[0,)2arcsincos2sin()221xtxttxxttdxttdtdtx令，有，22222200001sin21sin2sin2441644ttttdttdtt222011cos2.168164【例10】(2006，8题，4分)0()00()dxfxxxftt处连续，第设是奇函数，除是其一类间断点，则是四、变上限积分函数及其应用(A)(C)(B)(D).连续的奇函数.连续的偶函数0x在间断的奇函数.0x在间断的偶函数.【例10】(2006，8题，4分)解：0()00()dxfxxxftt处连续，第设是奇函数，除是其一类间断点，则是四、变上限积分函数及其应用(A)(C)(B)(D).连续的奇函数.连续的偶函数0x在间断的奇函数.0x在间断的偶函数.,0()1,0xxfxx取222000011()()dlimdlim22xxxFxfttttxx则当时，0(0)0lim()()xFFxFx而，为连续偶函数所以，则选(Ｂ)【例11】(2005，8题，4分)“”MNFxfxMN设是连续函数的一个原函数，表示的充分必要条件是，则必有(A)(B)(C)(D).Fxfx是偶函数是奇函数.Fxfx是奇函数是偶函数.Fxfx是周期函数是周期函数.Fxfx是单调函数是单调函数解：21,1,;?,,;.12fxFxxBCfxxFxDAx令则取排除、令则取排除故应选【例12】(2005，15题，11分)fx设函数连续，且000()()(0)0lim.()xxxxtftdtfxfxtdt，求极限【例12】(2005，15题，11分)fx设函数连续，且000()()(0)0lim.()xxxxtftdtfxfxtdt，求极限解：000()()()()xtuxxxfxtdtfudufudu由于，于是0000000000000()()()()limlim()()()()()()=lim=lim()()()()xxxxxxxxxxxxxxtftdtxftdttftdtxfxtdtxfuduftdtxfxxfxftdtfuduxfxfuduxfx000()(0)1=lim=.(0)(0)2()()xxxftdtfxfffudufxx【例13】(2007，17题，10分)()1100()0,4cossin()ddsincos().fxxfxttfttttffttfx上单调、可导的函数，且设是区间，其中是的反函数满足,求【例13】(2007，17题，10分)()1100()0,4cossin()ddsincos().fxxfxttfttttffttfx上单调、可导的函数，且设是区间，其中是的反函数满足,求解：()1001cossin()ddsincos(cossin)(())()sincos(cossin)cossin()()0sincossincosfxxttfttttxttxxxffxfxxxxxxxxxfxfxxxxxx两边对求导得：，（将）(0)0100()ln|sincos|0cossin()dd0sincosffxxxCxttftttttt两边积分得将代入题中方程可得1()0,4()0,4fxfx上单调、可导的函数，则的值域为因为是区间(0)00()ln|sincos|1fCfxxx单调非负，所以代入故（）式可得，【例16】(2010，16题，10分)五、与定积分有关的证明题1比较10ln[ln(1)]nttdt10ln(1,2,)nttdtn与的大小,说明理由.(2)记10ln[ln(1)](1,2,),nnuttdtn求极限lim.nxu0lim,0lnlim)1(111lnln.ln)]1[ln(ln0)1()2(.ln)]1[ln(ln,ln)]1[ln(ln,)1ln(,10)1(10102101010101010nnnnnnnnnnnnnnudtttndttntdttdtttdtttdtttudtttdtttttttttt从而知由因此，当解：【例17】(2006，3题，4分)220d_____.(1)xxx反常积分六、反常积分的概念与计算【例17】(2006，3题，4分)解：220d_____.(1)xxx反常积分六、反常积分的概念与计算2222200022d1d(1+)lim(1)2(1)111111limlim21+21+22bbbbbxxxxxxb【例18】(2009，10题，4分)+1_____.kxedxk已知，则【例18】(2009，10题，4分)解：+1_____.kxedxk已知，则001122lim02102bkxkxkxbedxedxekkkk因为极限存在所以【例21】(2013，4题，4分)111,1(1)()1,ln xexfxfxdxxexx设函收敛数，若反积分，则（常）(A)(B)(C)(D)2220a02【例21】(2013，4题，4分)解：111,1(1)()1,ln xexfxfxdxxexx设函收敛数，若反积分，则（常）(A)(B)(C)(D)2220a0211111()(1)lneedxfxdxdxxxx1111011(1)eedxdtxt当且仅当时其中才收敛；111111ln|lnlimln0exdxxxxxa而第二个反常积分，当且仅当才收敛．【例23】(2006，21题，12分)七、定积分应用221,(0)4xttyttL已知曲线的方程000(1,0)(,).ILIILIxyxIxxIL（）讨论的凹凸性；（）过点引的切线，求切点，并写出切线的方程；（）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积解：dddd422d2,421dddd2dyxyyttttxttxttt(1)因为2223ddd12110,(0)dddd2dyytxxtxtttt0.tL故曲线当时是凸的201(1)yIIIxt（）由（）知，切线方程为222200000000021441