分式的运算法则

分式的运算一.通分的方法:1.分式通分的涵义和分数通分的涵义有类似的地方;(1)把异分母分式化为同分母分式;(2)同时必须使化得的分式和原来的分式分别相等;(3)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母,否则使运算变得烦琐.2.求最简公分母是通分的关键,其法则是:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取;(3)相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最高的.这样取出的因式的积,就是最简公分母.例1.通分:解:∵8,12,20的最小公倍数为120,字母因式x、y、z的最高次幂分别为x3、y3、z2,所以最简公分母是120x3y3z2.∴.通分过程中,如果字母的系数是负数,一般先把负号提到分式的前面.例2.通分:解:将分母分解因式:a2-b2=(a+b)(a-b);b-a=-(a-b)∴最简公分母为(a+b)(a-b)2∴[分子,分母同乘以(a-b)]=[分子作整式乘法]∴[分子,分母同乘以(a+b)]=[分子作整式乘法]∴[分子,分母同乘以(a+b)(a-b)]=-[分子作整式乘法]说明:(1)分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘。(2)通分是和约分相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去.将分式化为较简单的形式;通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式,使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式。约分是对一个分式而言的;通分则是对两个或两个以上的分式来说的。二.分式的乘除法:1.同分数乘除法类似,分式乘除法的法则用式子表示是：，其中a、b、c、d可以代表数也可以代表含有字母的整式.2.分式乘除法的运算.归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进行因式分解,再约分。3.整式和分式进行运算时,可以把整式看成分母为1的分式。4.做分式乘除混合运算时,要注意运算顺序,乘除法是同级运算,要严格按照由左到右的顺序进行运算.切不可打乱这个运算顺序。例如:a÷b·=a··=切不可以:a÷b·=a÷1=a例1、计算：（1）（2）÷(-)解:(1)法(一)分子、分母分别相乘得一个分式再进行约分:=法(二)先约分,再相乘=(2)÷(-)=·（-）=-说明①分式的除法,只要将除式的分子和分母颠倒位置,就可以转化为乘法来做,并注意符号法则,一般先确定符号,然后演算.②根据乘法法则,应先化成一个分式后再进行约分,如(1)题中的法(一)计算,但在实际演算中,这样的做法就显得繁琐,因此往往在运算过程中,先约分,再相乘,所得的结果是相同的.如(1)题中的法(二)计算.例2.计算:÷(x+3)·解:÷(x+3)·=÷(x+3)·(各分子,分母按x降幂排列)=··（统一为乘法运算）=··（分子，分母因式分解）=-（约分）说明:①整式(x+3)可以写成分式形式:颠倒除式后为.②上例的右侧说明就是乘除混合运算的步骤。③要注意运算顺序,在同级运算中,如果没有括号,就应按照由左到右的顺序进行计算.④当分式的分子分母是多项式时,应先进行因式分解,分解时,应先把含有同一个字母的多项式按降幂(或升幂)排列好,再进行分解因式,化成最简分式后再进行运算,这样就容易看出相同的因式,便于约分。三.分式的乘方:1.分式乘方法则用式子表示是：()n=(n是正整数,b≠0)2.带有负号的分式乘方,其结果的符号与负数的乘方的规律相同,即负数的偶次方为正,奇次方为负.在演算带有负号的分式乘方时,应先决定结果的符号,再做其它的运算。3.分式乘除,乘方混合运算时,要先乘方,再化除为乘,最后进行约分并把结果化成最简分式或整式。例1.计算:(-)2·(-)3÷(-)4解:(-)2·(-)3÷(-)4=(分式乘方法则)=(统一为乘法运算)=-(分式乘法及分式变号法则)=-a5(约分)说明:上例的右侧说明就是乘方,乘除混合运算的步骤。例2.计算:()2·()3÷解:()2·()3÷=÷(分式乘方法则)=·(统一为乘法运算)=·(分子,分母因式分解及分式变号法则)=(约分)=(分子作整式乘法运算)说明:①运算时特别注意符号,在做题时,先判断符号,如负数的奇次方为负,如(-a)3=-a3,负数的偶次方为正,同号相乘除为正,如，异号相乘除为负.②注意(b-a)3=-(a-b)3的变形。四.分式的加减法:1.分式的加减法,可以依照分数加减法的法则来进行。分为同分母的加减法和异分母的加减法。而异分母的加减法是通过通分转化为同分母的加减法进行运算的。2.分母相同的分式的加减法,用式子表示为:3.分母不相同的分式的加减法,用式子表示为:.4.当一个分式和一个整式相加减时,要把这个整式看作分母为1的式子进行通分。例1.计算:解:三个分式的分母相同,只要对分子进行加减:=（分母不变，分子相加减）=（应用去括号法则）=（分子合并同类项）=（约分）说明:注意分子相加减是指把各个分式的分子的整体相加减.如上例的三个分子相加减为:(4x+6y)+(2y-3x)-(x+2y),尤其是-(x+2y)注意括号的作用.例2.计算:(1)（2）a--b解:（1）=（按x的降幂排列）=（把分母进行分解因式）=（通分）=（分母不变，分子相加减）=（用去括号法则，去掉括号）=（分子合并同类项）=（分子再进行分解因式）=（约分）（2）法（一）a--b=（分别通分）=（分别进行加减法运算）=（分子部分去括号）=（分子合并同类项）=（再通分）=（用分式加法法则运算）（2）法（二）：原式====五.分式的混合运算:1.分式混合运算的顺序是:第一级运算是加法和减法;第二级运算是乘法和除法;第三级运算是乘方.如果一个式子里含有几级运算,那么先做第三级运算,再作第二级运算,最后再做第一级运算;如果有括号先做括号里面的运算.如顺口溜:先三后二再做一,有了括号先做里.当有多层括号时,先算括号内的运算,从里向外{[(«)]}.2.运算中不要出现以下错误:；()3=;=0例1.计算:()÷解：()÷=[]÷(括号内分母分解因式)=÷(通分)=·（去括号及颠倒分子，分母）=·（分子合并同类项）=（约分）例2．计算：[(1+)(a-4+)-3]÷(-1)解：[(1+)(a-4+)-3]÷(-1)=[-3]÷()（通分）=[-3]÷（合并同类项及分解因式）=[-3]÷（约分）=·（通分及颠倒分子和分母）=·（分解因式）=-（a+1）（约分）=-a-1（去括号）说明:对含有加,减,乘,除及带括号的混合运算,要先弄清运算顺序,有括号的按括号法则由里向外运算.例3.计算:()÷解:()÷=[]÷（对分母进行分解因式）=[]·（除法变乘法）=（利用乘法分配律）=（分别约分）=（同分母减法法则）=（合并同类项）=（分子分解因式）=-1说明:如果本题先计算括号内异分母减法后再计算除法就显得比较繁琐,本题运用了分配律去计算显得灵巧,简单.计算中注意应用技巧.例4.计算:-(--)÷解:-(--)÷=-[-]·（部分通分及除变乘）=-[-]·（部分加法运算）=-·（同分母相减）=-·（合并同类项）=-（分式乘法运算）=（通分及减法运算）=（合并同类项）=（分子进行分解因式）=（约分）说明:本题括号内的分式运算,若采用一次通分的方法,会给计算带来不便,而采用逐步合并的方法,较为简捷;分式的四则混合运算往往计算量较大,因此要先分析好方法,再按步计算,切不可急于求成.