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5-5-3.同余问题.题库教师版page1of61.学习同余的性质2.利用整除性质判别余数同余定理1、定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b(modm),左边的式子叫做同余式。同余式读作:a同余于b,模m。2、重要性质及推论:(1)若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除例如:17与11除以3的余数都是2,所以1711()能被3整除.(2)用式子表示为:如果有a≡b(modm),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的.建立余数判别法的基本思想是:为了求出“N被m除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得:N与R对于除数m同余.由于R是一个较简单的数,所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数.⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数;⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数;⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数;⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数;⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数;(不够减的话先适当加11的倍数再减);⑹整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数.模块一、两个数的同余问题【例1】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1)39336,51-3=48,1473144,(36,144)12,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小于除数,这个数是4,6,12;(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题5-5-3.同余问题.题库教师版page2of6两数差的公约数.513912,14739108,(12,108)12,所以这个数是4,6,12.【答案】4,6,12【例2】某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______.【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中,分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1,同理这个两位数除以4、5都余1,这样,这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。【答案】61【例3】有一个自然数,除345和543所得的余数相同,且商相差33.求这个数是多少?【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于这个数除345和543的余数相同,那么它可能整除543-345,并且得到的商为33.所以所求的数为(543345)336.【答案】6【例4】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少?【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,因此这个自然数是25422034的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34.如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件;如果这个数是17,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件,所以这个自然数是17.【答案】17【例5】两位自然数ab与ba除以7都余1,并且ab,求abba.【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答【解析】abba能被7整除,即(10)10)9abbaab(()能被7整除.所以只能有7ab,那么ab可能为92和81,验算可得当92ab时,29ba满足题目要求,92292668abba【答案】2668【例6】现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是:1:3:2,这个大班有_____名小朋友,每人分得糖果_____粒,饼干_____块,桔子_____个。【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答【关键词】南京市,兴趣杯【解析】设大班共有a名小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2,所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数,从而254+186-210一定是a的倍数,即254+186-210=230=1×230=10×23=2×5×23是a的倍数。同样,2×254-186=322=23×14=23×14=23×2×7也一定是a的倍数。所以,a只能是23×2的因数。但a﹥40,所以a=46。此时254=46×5+24,210=46×3+72,186=46×3+48。故大班有小朋友46名,每人分得糖果5粒,饼干3块,桔子3个。【答案】小朋友46名,每人分得糖果5粒,饼干3块,桔子3个模块二、三个数的同余问题【例7】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.5-5-3.同余问题.题库教师版page3of6【考点】三个数的同余问题【难度】3星【题型】解答【解析】这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据同余定理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.1014556,594514,(56,14)14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14。【答案】2,7,14【【巩巩固固】】有一个整数,除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?【考点】三个数的同余问题【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第9题【解析】这个数除300、262,得到相同的余数,所以这个数整除300-262=38,同理,这个数整除262-205=57,因此,它是38、57的公约数19。【答案】19【【巩巩固固】】在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________.【考点】三个数的同余问题【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】因为1390313511392,1458913903686,由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除.(392,686)98,所以所求的最大整数是98.【答案】98【【巩巩固固】】140,225,293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是.【考点】三个数的同余问题【难度】3星【题型】填空【关键词】三帆中学,入学测试【解析】这样我们用总结的知识点可知:任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是293-225=68的约数,又是225-140=85的约数,因此就是68、85的公约数,所以这个自然数是17。所以2002除以17余13。【答案】13【【巩巩固固】】三个数:23,51,72,各除以大于1的同一个自然数,得到同一个余数,则这个除数是。【考点】三个数的同余问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,初赛,第4题,6分【解析】512328,725121,(28,21)=7,所以这个除数是7。【答案】7【例8】学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?【考点】三个数的同余问题【难度】3星【题型】解答【解析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为1186751和673334的公约数,所求答案为17.【答案】17【例9】若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为_______.【考点】三个数的同余问题【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】设除数为A.因为2836,4582,5164,6522除以A的余数相同,所以他们两两之差必能被A整除.又因为余数是两位数,所以A至少是两位数.4582-2836=1746,51644582582,652251641358,因为(582,1358)194,所以A是194的大于10的约数.194的大于10的约数只有97和194.如果194A,238619414120,余数不是两位数,与题意不符.如果97A,经检验,余数都是23,除数余数9723120.5-5-3.同余问题.题库教师版page4of6【答案】120【例10】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为a,2a,5a,则这个自然数是多少?【考点】三个数的同余问题【难度】4星【题型】解答【解析】根据题意可知,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数(都为a).既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0.那么这个自然数是29023357的约数,又是23319538的约数,因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19.【答案】19【【巩巩固固】】有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.【考点】三个数的同余问题【难度】4星【题型】填空【关键词】清华附中,入学测试【解析】处理成余数相同的,则888、518-7、666-10的余数相同,这样我们可以转化成同余问题。这样我们用总结的知识点可知:任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是888-656=232的约数,也是656-511=145的约数,因此就是232、145的公约数,所以这个自然数是29。【答案】29【例11】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a、2a、a,求这个自然数和a的值.【考点】三个数的同余问题【难度】4星【题型】解答【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数:42952848,791、50021000,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a,故同余.将这三个数相减,得到84879157、1000848152,所求的自然数一定是57和152的公约数,而57,15219,所以这个自然数是19的约数,显然1是不符合条件的,那么只能是19.经过验证,当这个自然数是19时,除429、791、500所得的余数分别为11、12、6,6a时成立,所以这个自然数是19,6a.【答案】6【例12】甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少?【考点】三个数的同余问题【难度】4星【题型】解答【解析】根据题意,这三个数除以A都有余数,则可以用带余除法的形式将它们表示出来:11603AKr,22939AKr,33393AKr由于122rr,232rr,要消去余数1r,2r,3r,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减.这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4.于是我们可以得到下面的式子:11603AKr22939222AKr33393424AKr这样余数就处理成相同的.最后两两相减消去余数,意味着能被A整除.93926031275,3934
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