初三数学第3讲：二次函数的图象与性质进阶(教师版)

第3讲二次函数的图象与性质进阶一、二次函数y＝ax2的图象1．函数y＝x2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．2．抛物线y＝ax2的顶点是______，对称轴是______．当a＞0时，抛物线的开口向______；当a＜0时，抛物线的开口向______．3．当a＞0时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而______，而在对称轴的右侧，y随x的增大而______；函数y当x＝______时的值最______．4．当a＜0时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而______，而在对称轴的右侧，y随x的增大而______；函数y当x＝______时的值最______．5．抛物线y＝ax2，｜a｜越大则抛物线的开口就______，｜a｜越小则抛物线的开口就______．二、二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象1.一般地，抛物线2()yaxhk与抛物线2yax的相同，不同.把抛物线2yax向向平移，可以得到抛物线2()yaxhk.即平移规律左加右减，上加下减.2.抛物线2()yaxhk有如下特点：①当0a时，开口向；当0a时，开口向；②对称轴是直线；③顶点坐标是.三、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象1．把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成y＝a(x－h)2＋k形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x＝______时，y最值＝______；当a＜0时，x______时，y随x增大而减小；x______时，y随x增大而增大．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与纵轴交点的位置，－2ba决定对称轴．四、用待定系数法求二次函数的解析式1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式，关键是求出待定系数________的值．由已知条件列出关于________的方程组，并求出________，就可以写出二次函数的解析式．2．用待定系数求二次函数的解析式时：(1)若抛物线经过任意三个点，则可设一般式：y＝ax2＋bx＋c；(2)若给出了抛物线的顶点坐标，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k；(3)若已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)，则可设双根式：y＝a（x－x1）（x－x2）重点：会用描点法画二次函数的图象；掌握并灵活运用二次函数的图象和性质；能根据条件用适当的方法求二次函数的解析式．难点：对二次函数图象和性质的理解，能用二次函数的图象和性质解决综合性问题．例1将二次函数y＝2x2+3x－1化成y＝a(x-h)2+k的形式为.解析：配方的关键是加上一次项系数一半的平方，除了要特别注意符号带来的错误外，还要注意运算带来的错误.y＝2x2+3x－1＝2(x2+32x)－1＝2[x2+32x+(34)2－916]－1＝2234x－178.答案：2234x－178.例2把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）.A.y=-(x-1)2+3B.y=-(x+1)2+3C.y=-(x-1)2-3D.y=-(x+1)2-3解析：由抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律知，将抛物线y=-x2向左平移1个单位，就在x后加上1，得y=-(x+1)2，再将抛物线y=-(x+1)2向上平移3个单位，就在k后加上3，得y=-(x+1)2+3.故选B.答案：B．例3二次函数cbxaxy2的图象如图所示，若点A（1，y1），B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）.A．21yyB．21yyC．21yyD．不能确定解析：由图象可知抛物线开口向下，并且所给两点A，B都在对称轴的右侧，故直接利用二次函数增减性“抛物线开口向下时，对称轴右侧y随x的增大而减小”，得21yy．故选C．答案：C．例4如图，已知抛物线cbxxy2的对称轴为直线2x，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标是（）.A.（2，3）B.（3，2）C.（3，3）D.（4，3）解析：因为A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，所以A，B两点关于对称轴2x对称，又因为点A的坐标为（0，3），所以点B的纵坐标也是3，设点B的坐标为（x，3），则022x，解得x＝4．所以点B的坐标为（4，3）.故选D.答案：D．例5抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么()A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0解析：因为抛物线开口方向向下，所以a＜0；因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c＞0；因为对称轴在y轴左侧，所以－2ba＜0，又a＜0，所以b＜0.故选B.答案：B．OxyAx=2B例6已知二次函数2yaxbxc中的xy，满足下表：x…2102112…y…4024920…求这个二次函数解析式．解析：方法一：设一般式，即)0(2acbxaxy.已知任意三点，可设一般式)0(2acbxaxy求解.可选三个点，不妨把)2,1(),0,1(),2,0(代入cbxaxy2中得2,0,2.cabcabc解得1a，1b，2c.故所求二次函数关系式为22xxy．方法二：设顶点式，即)0()(2akhxay.由表知当0x和1x时，函数值都为2，由抛物线的对称性可得到抛物线的顶点为)49,21(，可设所求二次函数顶点式为49)21(2xay.把)2,0(代入上式，得219(0)224a，解得1a.故所求二次函数关系式为49)21(2xy，即22xxy．方法三：设交点式，即)0)()((21axxxxay.由表可知当1x和2x时，函数值都为0，结合图象会发现抛物线与x轴的交点为（1，0）、（2,0），可设所求二次函数交点式为)2)(1(xxay.把)2,0(代入上式中解得1a.故所求二次函数关系式为)2)(1(xxy，即22xxy．答案：22xxy．例7在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）．（1）求抛物线的解析式.（2）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）设抛物线的解析式为)0)()((21axxxxay，则y=a(x-1)(x-5),把（0，4）代入得4=5a,解得a=45.所以抛物线的解析式为y＝45x2－245x＋4.（2）假设存在合题意的点N．如图，过点N作ND∥y轴，交AC于点D．设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将A（0，4），C（5，0）代入，得4,50.bkb解得4,54.kb∴直线AC的解析式为y＝－45x＋4．设点N的坐标为（m，45m2－245m＋4），则点D的坐标为（m，－45m＋4）．∵点N是直线AC下方的抛物线上的点，∴ND＝－45m＋4－(45m2－245m＋4)＝－45m2＋4m．∴S△NAC＝12ND•OC＝12(－45m2＋4m)•5＝－2(m－52)2＋252．∴当m＝52时，S△NAC有最大值252．此时45m2－245m＋4＝－3．∴在直线AC下方的抛物线上存在一点N，使△NAC的面积最大，点N的坐标是(52，－3)．答案：（1）y＝45x2－245x＋4；（2）在直线AC下方的抛物线上存在一点N，使△NAC的面积最大，点N的坐标是(52，－3)．A1．在二次函数①y＝3x2；②2234;32xyxy③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为()A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③答案：C．-1-1-2-21234561234xyOABCNDEF2．抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是()A．向下，(0，4)B．向下，(0，－4)C．向上，(0，4)D．向上，(0，－4)答案：B．3．二次函数y＝ax2＋x＋1的图象必过点()A．(0，a)B．(－1，－a)C．(－1，a)D．(0，－a)答案：C．4．要得到抛物线2)4(31xy，可将抛物线231xy()A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向右平移4个单位D．向左平移4个单位答案：C．5．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231xy的图象相同的抛物线是()A．2)5(31xyB．5312xyC．2)5(31xyD．2)5(31xy答案：C．6．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．答案：向下，相同，(0，0)，y轴．7．抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y随x的增大而减小；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______平移______个单位得到．答案：(0，3)，y轴，x≤0，0，小，3，上，3．8．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．答案：向上，(2，0)，直线x＝2，x≥2，2，小，0，右，2．9．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为______．当x＝______时，y有最______值是______，与x轴的交点是______，与y轴的交点是______，当x______时，y随x增大而减小，当x______时，y随x增大而增大．答案：,43),849,43(小，43,43),5,0(),0,1()0,25(,849xx、10．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是______，它与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______．答案：(－1，4)，(－3，0)、(1，0)，(0，3)．11．已知一抛物线与x轴的交点是A(－2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．答案：(1)设抛物线的解析式为y＝a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]．依题意可知x1＝－2，x2＝1．∴y＝a(x2＋x－2)．将点C的坐标代入得8＝a(22＋2－2)．∴a＝2．∴y＝2(x2＋x－2)，即y＝2x2＋2x－4；(2)配方得y＝2192()22x，∴该抛物线的顶点坐标为(12，92)．12．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B．(1)求该二次函数的解析式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)写出一种将它平移成抛物线y＝x2的方法．答案：(1)由图象可知抛物线经过点(－1，－1)和点(3，－9)，于是求得二次函数的表达式为y＝x2－4x－6．(2)配方得y＝(x－2)2－10，所以对称轴为2x；顶点坐标为(2，－10)．(3)答案不唯一，如：将抛物线y＝x2－4x－6向上平移10个单位再向左平移2个单位即得抛物线y＝4x2．B13．已知函数y＝(m2－3m)122mmx的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______．答案：y＝4x2；(0，0)；x＝0；向上．14．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．答案：1．15．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的图象大致如图()答案：B．16．抛物线y＝ax2与