第十章-曲线曲面积分(习题及解答)

高等数学第十章曲线曲面积分第1页学院专业学号姓名第十章曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1.设曲线弧段AB为，则曲线积分有关系().(A)(,)d(,)dABBAfxysfxys；(B)(,)d(,)dABBAfxysfxys；(C)(,)d(,)d0ABBAfxysfxys；(D)(,)d(,)dABBAfxysfxys．答(B).2.设有物质曲线23:,,(01),23ttCxtyzt其线密度为2y,它的质量M().(A)12401dtttt;(B)122401dtttt;(C)12401dttt;(D)12401dtttt.答(A).3.设OM是从(0,0)O到(1,1)M的直线段,则与曲线积分22dxyOMIes不相等的积分是().(A)1202dxex;(B)1202dyey;(C)20drer;(D)102drer答(D).4.设L是从(0,0)A到(4,3)B的直线段,则曲线积分()dLxys().(A)403d4xxx;(B)303d4yyy;(C)30391+d416yyy;(D)40391+d416xxx.答(D).5.设L为抛物线2yx上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分dLys().(A)12014dxx;(B)101dyyy;(C)12014dxxx;(D)1011dyyy.答(C).6.设L是从(1,0)A到(1,2)B的直线段,则曲线积分()dLxys().(A)2;(B)2;(C)2;(D)22.答(D).高等数学第十章曲线曲面积分第2页学院专业学号姓名二、填空题1.设L是圆周221xy,则31dLIxs与52dLIxs的大小关系是.答:12.II2.设L是连接(1,0)A与(0,1)B两点的直线段,则()dLxys.答：2.3.设:cos,sin(02),Lxatyatt则22()dnLxys.答：212aa.4.设:cos,sin(02),Lxatyatt则22()dLxys.答：0.5.设L是圆周221xy,则2dLIxs.答：.6.设:cos,sin,tttxetyetze,上相应于t从0变到2的这段弧,则曲线积分22()dLxys.答:23(1)2e.7.设L为曲线24yx上从点(0,0)A到点(1,2)B的弧段,则1dLyxs.答：3.三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分：(1)dLxs其中为由直线yx与抛物线2yx所围区域的整个边界.答：1(55621)12.(2)22dxyLes其中L为圆周222xya，直线yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答：22.4aae(3)2dxyzs，其中为折线ABCD，这里,,,ABCD依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).高等数学第十章曲线曲面积分第3页学院专业学号姓名答：9.(4)2dLys其中L为摆线一拱(sin),(1cos)(02)xattyatt.答：34232.53a(5)22()dLxys其中L为曲线(cossin)(sincos)xatttyattt(02)t.答：2322(12).a§10．2对坐标的曲线积分一、选择题1.设AB为由(0,)A到(,0)B的直线段,则sindsindAByxxy().(A)2;(B)1;(C)0;(D)1.答(C).2.设C表示椭圆22221xyab,其方向为逆时针,则2()dCxyx().(A)ab;(B)0;(C)2ab;(D)1.答(B).3.设C为由(1,1)A到(2,3)B的直线段,则(3)d(2)dCxyxyxy().(A)21[(2)(23)]dxxxxx；(B)21[(21)(213)]dxxxxx(C)21[(73)2(51)]dxxx;(D)21[(73)(51)]dxxx.答(C).4.设曲线C的方程为cos,sinxtyt(0)2t,则22ddCxyyyxx()(A)20[cossinsincos)]dttttt；(B)2220(cossin)dttt(C)2200ddcossinsincos2sin2costttttttt;(D)201d2t.答(D).5.设()fu连续可导,L为以原点为心的单位圆,则必有().(A)22()(dd)0Lfxyxxyy；(B)22()(dd)0Lfxyxyyx高等数学第十章曲线曲面积分第4页学院专业学号姓名(C)22()(dd)0Lfxyxyy;(D)22()(dd)0Lfxyxxy.答(A).6.设C是从(0,0)O沿折线11yx到(2,0)A到的折线段,则ddCxyyx()(A)0;(B)1;(C)2;(D)2.答(C).二、填空题1.L为xoy平面内直线xa上的一段,则(,)dLPxyx.答：0.2.设L为2yx上从(0,0)O到(2,4)A的一段弧,则22()dLxyx.答：5615.3.设L为2yx上从(0,0)O到(2,4)A的一段弧,则22()dLxyy.答：403.4．L为圆弧24yxx上从原点到(2,2)A的一段弧,则dLxyy.答：43.5．设L为圆周222()(0)xayaa及x轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则dLxyy.答：32a.6．设(2)d(23)d9Lxyxxyy,其中L为xoy平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L所围成的平面区域D的面积等于.答：32.三、解答题1．计算()d()dLxyxyxy,其中L为:高等数学第十章曲线曲面积分第5页学院专业学号姓名(1)抛物线2yx上从(1,1)到(4,2)的一段弧;(2)从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;(3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线;(4)曲线2221,1xttyt上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.答案：3432(1);(2)11;(3)14;(4).332．计算ddLyxxy其中L为圆周cos,sinxRtyRt上对应t从0到2的一段弧.答：0.3．计算22()d()dLxyxxyyxy,其中L为圆周222xya(方向按逆时针).答：2.4．计算dd(1)dxxyyxyz其中为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.答：13.5.计算22(2)d(2)dLxxyxyxyy,其中L是2yx上从点(1,1)到点(1,1)的一段弧.答：1415.§10．3格林公式一、选择题1.设C是圆周222xyR,方向为逆时针方向,则22ddCxyxxyy用格林公式计算可化为().(A)2300ddRrr；(B)2200ddRrr;(C)2300d4sincosdRrr;(D)2200ddRRrr.答(A).2.设L是圆周222xya,方向为负向,高等数学第十章曲线曲面积分第6页学院专业学号姓名则3223()d()dLxxyxxyyy=().(A)323a;(B)4a;(C);(D)42a.答(D).3.设L是从(0,0)O沿折线22yx到(4,0)A到的折线段,则ddCxyyx()(A)8;(B)8;(C)4;(D)4.答(B).4.设(,),(,)PxyQxy在单连通区域D内具有一阶连续偏导数,则ddLPxQy在D内与路径无关的充分必要条件是在D内恒有().(A)0QPxy;(B)0QPxy;(C)0PQxy;(D)0PQxy.答(B).5.设L为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线,则22dd4Lxyyxxy().(A)4;(B);(C)2;(D)0.答(D).6.设L为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22dd4LxyyxIxy().(A)因为QPxy,所以0I;(B)因为,QPxy不连续,所以I不存在;(C)2;(D)因为QPxy,所以沿不同的L,I的值不同.答(C).7.表达式(,)d(,)dPxyxQxyy为某函数(,)Uxy的全微分的充分心要条件是().(A)PQxy;(B)PQyx;(C)PQxy;(D)PQyx.答(D).8.已知2()dd()xayxyyxy为某函数(,)Uxy的全微分,则a().高等数学第十章曲线曲面积分第7页学院专业学号姓名(A)0;(B)2;(C)1;(D)1.答(B).9.设L是从点(1,1)A到点(2,3)B的直线段,则(3)d(3)dLxyxyxy().(A)2311(3)d(6)dxxyy;(B)21[(6)(23)]dxxxxx;(C)23111(31)d(3)d2yxxyy;(D)21[(31)(51)]dxxx.答(A).10*.设()fx连续可导,且(0)1f,曲线积分(,)43(0,0)()tand()dIyfxxxfxy与路径无关,则()fx().(A)1cosx;(B)1cosx;(C)cosx;(D)sinx.答(C).二、填空题1.设区域D的边界为L,方向为正向,D的面积为.则ddLxyyx.答:2.2.设(,)fxy在22:14xDy上具有二阶连续偏导数,L是D的边界正向,则(,)d[3(,)]dyxLfxyyyfxyx.答:6.3.设L是圆周229xy,方向为逆时针,则2(2)d(4)dLxyyxxxy.答:27.4.设L为闭曲线2xy方向为逆时针,,ab为常数,则ddLaxybyxxy=.答:4()ab.5.设ABCDA为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)ABCD为顶点的正方形逆时针方向一周,则ddLxyxy=.高等数学第十章曲线曲面积分第8页学院专业学号姓名答:0.6.设L为圆周221xy上从(1,0)A到(0,1)B再到(1,0)C的曲线段,则2dyLey.答:0.7.(2,2)2(0,0)2d(3)dxyxxy.答:2.8.设L为直线yx从(0,0)O到(2,2)A的一段,则22d2dyyLexxyey.答:42e.9*.设L为抛物线上一段弧,试将积分(,)d(,)dLPxyxQxyy化为对弧长的曲线积分,其中(,),(,)PxyQxy在L上连续.答:22d14LPxQsx.10*.设()fx连续可导,且(0)0f,曲线积分[()]sind()cosdxLfxeyxfxyy与路径无关,则()fx=.答:2xxee.三、解答题1.计算22dd2()Lyxxyxy，其中L为圆周22(1)2xy的正向.答:.2.计算(24)d(536)dLxyxyxy，其中L是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.答:12.3.计算3222(2cos)d(12sin3)dLxyyxxyxxyy,其中L为抛物线22xy上由点(0,0)到,12的一段弧.高等数学第十章曲线曲面积分第9页学院专业学号姓名答:24.4.计算22()d(sin)dLxyxxyy，