数值分析(清华大学第五版)-第四章数值积分和微分

第四章数值积分与微分（I）[教学主要内容]§4.1引言1.数值积分原理2.一般机械求积公式3.插值求积§4.1引言数值微积分简介一、数值积分的基本原理：由结点处函数值的加权平均值近似f(x)的积分dxxfba)(机械求积公式：设[a,b]上n+1个节点jx处的函数值()jfx，则njjjbaxfAdxxf0)()(jx为求积节点，jA求积系数（权）二、插值求积设)(xf在],[ba上1n阶导数连续，已知)(xf在互异结点0,,nxx的值为0,,nyy,即()(0,,)iiyfxin，又设过该结点的次数n的Lagrange插值多项式)()()(0xlxfxPnjjj，余项(1)()()()(1)!nfRxxn.代数精确度定义设求积公式banjjjfbaRxfAdxxf),,()()(0．若对于任意次数小于等于m的多项式)(xPm，该积分公式精确成立；而存在某个次数等于1m的多项式)(1xPm，该积分公式不精确成立，则称该公式)(fIn的代数精确度为m则)()()(xRxPxf有0()()()()()()()(,,)babbaanbjjajfxdxPxdxRxdxfxlxdxRabf即njbajjbafbaRdxxlxfdxxf0),,()()()(以上即插值求积公式．),,(fbaR为插值求积余项.定理求积公式njjjbaxfAdxxf0)()(至少具有n次代数精确度该公式为插值型求积公式三、求积公式的收敛和稳定定义1设求积公式njjjbaxfAdxxf0)()(，若njjjhnbaxfAdxxf00)(lim)(其中1max()iihxx，则称求积公式是收敛的定义2若0,0，使得当|()|(0,1,2,,)kkfxfkn时，有njjjnjjjnnfAxfAfIfI00|~)(||)~()(|则称求积公式稳定的定理若求积公式njjjbaxfAdxxf0)()(中系数0(0,1,2,)jAjn，则该求积公式是稳定的第四章数值积分与微分（II）[教学主要内容]§4.2Newton-Cotes公式1.Newton-Cotes公式2.Cotes系数3.Newton-Cotes的代数精确度4.梯形公式和Simpson公式§4.2CotesNewton求积公式一、CotesNewton公式（等距结点的插值求积）1.公式设],[ba上的等距结点hjaxj·，其中步长.bahn令1()bjjaclxdxba（Cotes系数）则由插值求积公式得：njjjbaxfcabdxxf0)()()(此即n阶CotesNewton公式.其余项与一般插值求积余项相同，即(1)()(,,)()(1)!nbafRabfxdxn2.Cotes函数jc的性质①01njjc②jc仅与n有关，与baxf,),(均无关.③jc可由待定系数法求出.证明：①令1)(xf，则由),,()()()(fbaRxfCabdxxfbajj得()0bbjaadxbacdx从而()()jbabac所以01njjc②由Cotes系数定义0-11011()()()()()1()()()()bjajbjjnajjjjnlxdxcbaxxxxxxxxdxbaxxxxxxxx作变量代换，thax，则00(1)(1)(1)()(1)1(1)()1(1)(1)(1)()(1)1(1)()nnhtttjtjtndtbajjjntttjtjtndtnjjjn上式该积分仅与n有关，与)(,,xfba无关.③设1n个线性无关的次数n的多项式为0(),,()nexex，过同样等距结点0,,,nxx对每一个()iex利用CotesNewton公式求积，且积分余项均为零．即有（1）0001001()()1()()1()()nbjjajnbjjajnbnjnjajexdxcexbaexdxcexbaexdxcexba以上是关于0,,ncc的1n阶线性方程组，其函数阵000101011101()()()()()()()()()nnnnnnexexexexexexAexexex以下用反证法证明0A反证,0A则方程组0CAT有非零解*0**ncCc即***0001010***0011()()()0()()()0nnnnnnnexcexcexcexcexcexc由此，多项式***0011()()()()nnQxexcexcexc有根1n个0,,nxx而()qx次数n，故有()0Qx从而，0(),,()nexex线性相关，矛盾，故假设错误．即得到0A，进而由方程组（1）唯一确定一组0,,nccCotes函数表1n21212n6132613n818383814n90745161524516907二、CotesNewton公式的代数精确度定理n2阶CotesNewton公式的代数精确度12n.证明：不妨设12n个结点,(1),,0,,,nhnhhhnh，又设)(xP为12n次多项式，则过以上结点的n2阶CotesNewton公式作项为(21)222222()()(21)!(21)!()()()()(21)!()()0.nnhnnhnhnhnhnhPRxdxncnxnhxhxxhxnhdxncxnhxhxdx被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称三、梯形公式与Simpson公式1.梯形公式（1n阶的CotesNewton公式）公式：设结点,ab,由Cotes系数定义可知0112CC于是babfafabdxxf)]()([2)(几何意义：badxxfSS.)(曲梯梯2.Simpson公式（2n阶的CotesNewton公式）（抛物线公式）设等距结点012,,2abaxxbx，Simpson公式为babfbafafabdxxf)(24)(6)(几何意义：由直线,,xaxbx轴，以及过三点的抛物线所围成的曲边梯形面积原曲边梯形面积.3.余项定理设)(xf在],[ba上足够光滑，则梯形公式余项)('')(121),,(31fabfbaRSimpson公式余项25(4)5(4)(,,)1()()9021()()2880(,(,)Rabfbafbafab证明：①[梯形公式余项]因为1''()(,,)()2!bxafRabfxdx，其中)(''xf在],[ba连续有界，()()()0xxaxb，由积分中值定理，则31''()()21''()()()2''()12((,))babafwxdxfxaxbdxhfab上式积分中值定理：设在[a，b]上f(x)连续，g(x)不变号，则dxxgfdxxgxfbaba)()()()(其中],[ba②[Simpson公式余项]引用辅助函数11111()()[()4()()]3xtxtttfxdxfxtfxfxt.(显然),,()(2fbaRh)因为111111111111'()()()1['()'()][()4()()]3324[()()]['()'()]()333tfxtfxttfxtfxtfxtfxfxttfxtfxtfxtfxtfx令)()()(11txftxftg则，)('''3)('''tgtt上式)(34)('3)(321xftgttg进而，)(''31)('31)(''ttgtgt将)(t在00t幂级数展开，并令,ht有220202211022111101(4)5(4)()''(0)1(0)'(0)()'''()2!2!1()'''()2('''()'''())1()23'''()'''()1()611()()90902hhhhhhhhxxdxhxxdxfxxfxxxhxdxxfxfxhxxdxbafhf5将)(t在00t幂级数展开，并令,ht有220202211022111101(4)5(4)()''(0)1(0)'(0)()'''()2!2!1()'''()2('''()'''())1()23'''()'''()1()611()()90902hhhhhhhhxxdxhxxdxfxxfxxxhxdxxfxfxhxxdxbafhf5第四章数值积分与微分（III）[教学主要内容]§4.3复合求积公式§4.4Romberg积分§4.3复合求积公式一、复合梯形公式思想：将积分区间],[ba分为若干小区间，在小区间上再使用梯形公式，最后求和，即得badxxf)(的近似值．将],[ba区间n等分，结点0.(0,1,,),jxxjhjh步长,nabh则1101120011()()()()()2()+2()()(,)2jjnbxaxjnhjjjnnfxdxfxdxfxfxhfxfxfxfxThn为复合梯形公式.二、复合Simpson公式思想:分割区间],[ba，再在小区间上使用Simpson公式，再求和即得复合Simpson公式将[a,b]n等分，步长,nabh结点0.(0,1,,)jxxjhjn，小区间1[,]kkxx上使用Simpson公式，记小区间中点122kkhxx，则121122110011()()4()()6[()4()2()2()4()()]6(,)nbkkkaknnnhfxdxfxfxfxhfxfxfxfxfxfxShn为复合Simpson公式3.复合梯形与复合Simpson公式的余项算术平均值引理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，已知f(x)在n个节点jx的函数值()jfx(j=1,2,…,n)，则至少存在(,)ab，使得1()()njjfxfn定理(余项)设)(xf在],[ba上足够光滑，则复合梯形公式余项2T(,)''()12baRhnhf复合Simpson公式余项4(4)S(,2)()()1802bahRhnf其中],[,ba证明：首先证明复合梯形公式余项．由梯形公式余项，在小区间],[1jjxx上的余项3T1''()12jjRhf其中],[1jjjxx则],[ba上复合梯形公式余项T113T003(,)1(''())12''()112nnjjjjjRhnRhffhnn由函数值的算术平均值引理，存在],[ba，使得321()12''()12hnfbahf上式同理，可证复合Simpson公式余项.4.矩形公式与复合矩形式①矩形公式（以左矩形公式为例）baabafdxxf)()()(②复合矩形公式（左矩形）1010()()[()()]nbjnajfxdxhfxhfxfx例设函数sin()xfxx，给出n=8的函数表，试用复合梯形公式和复合Simpson公式计算积分10sinxIdxx，并且估计误差。程序§4.4Romberg积分一、梯形法的递推化（