函数单调性的判断和证明

函数单调性习题课（约3课时）函数单调性的判断和证明在定义域上是减函数。：证明：函数例xxf-)(1是减函数。在（即则且，任意两个不相等的实数是设，，的定义域为证明：),0[x-x)f).f(x)f(x,0)(-)(0,0--)))(-(-x)x(--x-)(x-)(,0-,,0,0-)(121221212121212121211212212121xfxfxxxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxxxf用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设x1＜x2,并是某个区间上任意二值;(2).作差f(x1)－f(x2);(3).判断f(x1)－f(x2)的符号:(4).作结论.①分解因式,得出因式(x1－x2②配成非负实数和。方法小结③有理化。例2：证明函数f(x)=x3在R上是增函数.证明：设x1,x2是R上任意两个实数，且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[(x1+x2)2+x22]因为x1x2，则x1-x20又(x1+x2)2+x220所以f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2)所以f(x)=x3在R上是增函数.上的增函数是求证：的增函数，是和：已知例RxgxfxFRxgyxfy)()()()()(3单调函数的运算性质：若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性则在区间D上具有以下性质：1：2：3:4：5：函数单调区间的求法例4求函数f(x)=x+（k0）在x0上的单调性xk解：对于x2x10,f(x2)-f(x1)=x2-x1+1xk2xk-=1212xxxx(x1x2-k)因1212xxxx0X12-kx1x2-kx22-k故x22-k≤0即x2≤时，f(x2)f(x1)同理x1≥k时，f(x2)f(x1)总之，f(x)的增区间是，减区间是,kk,0k用定义求函数单调区间的步骤:(1).设x1＜x2,并是定义域上任意二值;(2).作差f(x1)－f(x2);方法小结）下结论（的符号。）的符号，从而得出区间，讨论各个区间）根把定义域分成若干（的根求（）令既提取因式6)f(-(50,(4)))(x-()(-)(,-31221121212xxfxxxxxfxfxx----||-)(52单调递减区间是：函数例xxxf点评：单调区间的求法1、定义法2、图像法的单调递减区间。求函数练习34.2xxy点评•1、定义法•2、图像法含参数函数的单调性的判断上的单调性。在：试讨论函数例)1,1(-)0(1-)(62xaxaxxf)1)(1()1)(()1)(1(11)()(11-,,2221211221222112212222112121xxxxxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxfxfxxxx则且解：任取）上是增函数。在（函数时当）上为减函数在（函数（时，当1,1-)(0)(-)(01,1-)(0)(-)00)1-)(1-(,01,0-1121212221211221xfxfxfaxfxfxfaxxxxxxxx抽象函数单调性的判断上的增函数。是求证：并且当都有对任意的：函数例RxfxfxbfafbafRbaxf)(1)(,0,1)()()(,,)(7调性。的值并判断该函数的单求的值）求（且有时当满足对任意的上的函数：定义在例)1()2()0(12)1(,1)(0),()()(,,),(8fffxfxbfafbafRbaxfyR)(1)()))0(,21)1(),1()1()11()0(1,121)0()0()1()01(1,01xfxfxfxffxbxafffffbaffffab（（则令则则）令（则）解：令（上的增函数。是则设时，当时，有当RxfxxfxfxxfxfxfxxfxfxfxxxfRxxfxfx)(1)-()()-()()())x-(()()(0)(1)(-01)(0121211211221小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。三.复合函数单调性的单调性。的单调性，从而得出与的单调性，必须考虑对于复合函数)]([)()()]([xgfyxguufyxgfy)(xgu)(xfy)]([xgfy增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数2212,3ux又在上是减函数。2432,3yxx在上是减函数。2432,3。yxx故函数的单调递减区间为小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。？）的单调递增区间是什么问：函数34(2xxy的单调递减区间。求函数例34.92xxy，，即解：03403422xxxx。，即函数的定义域为3,131x，，故令uyxxu342增函数。是定义域内是的单调递uy分段函数的单调性例10：已知函数，，1)(bxxfaxxaxxxg,,)(2Rba,（1）当a=0,b=2时，求f(g(x))和g(f(x))的解析式，并判断哪一个函数在其定义域上单调。（2）当a,b满足什么条件时，f(g(x))在定义域上单调。是。上是增函数，在时，解：当))((R))((21,1-221,)1-2())((0,1-20,1-2))((0,0,)(1-2)(2,0222xfggxfxxxxxfgxxxxxgfxxxxxgxxfba单调递增满足（则使递增在单调递增，在时，）（时不单调；）显然（、))(,,01-)-1-0201,1,1))((222xgfbxyabxybbaxbxaxbxxgf10,0,101-1-0))(()-10(21011022aabaababaaxgfabxybaababaa或综上或递减满足则使递减，在时，）或点评分段函数的单调性，首先判断各段函数的单调性，若每段函数的单调性一致，再判断分界点处函数值的大小关系，符合单调性的定义，则在整个定义域上是单调函数。函数的单调性的应用1、比较数（式）的大小2、解函数不等式3求参数的取值范围4、求函数值域（最值）题型一、比较大小：例1：函数f(x)在(0,+)上是减函数,求f(a2-a+1)与f()的大小。43解：因为f(x)在(0,+)是减函数因为a2-a+1=(a-)2+≥0434321所以f(a2-a+1)≤f()43解（1）1（2）2/3,1/2(3)1(4)当a0时，b≤0或当a0时，b≥0(5)当a0时，最大值为3-4a最小值为-1当0a1时，最大值为3-4a,最小值为-a²-1当1≤a≤2时，最大值为-1，最小值为-a²-1当a2时，最大值为-1，最小值为3-4a.),3()12(,]9,9[)(的范围求且满足上的增函数是定义在练习：已知xxfxfxf题型二、解不等式：例2：解：因为函数f(x)在定义域上是增函数9399129312xxxx54|xx54x()fx(0,)()()(),(2)1xffxfyfy(1)已知函数是定义在上的增函数且,解不等式1()()23fxfx(2)已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）()fxR1()(1)||ffxxA、B、C、D、(1,1)(0,1)(1,0)(0,1)(,1)(1,)练习f()()(),f2f()(2)(1),f(1)011()()212-[f(1)(1)]()2(1)()2x1,-xxfxfyyfffxfxfxfxfxfxx且（2）=1∴∴∵，∴因为函数为增函数，∴解得，1＜2题型三、求参数范围：例3:f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4)上是减函数，求a的取值范围。解：函数f(x)图象的对称轴为x=1-a当x1-a时，函数单调递减已知函数在上是减函数4，所以41-a,即-3a练习(1)已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）2()2(1)2fxxax(,4]aA、B、C、D、(,3][3,)(,3][3,)（2）已知在上是增函数，求实数a的取值范围.3()fxxax(0,1]（3）已知函数在上是增函数，求实数的取值范围。()2aafxxx(1,)a四、利用函数单调性确定函数的值域或最值.222[2,3]yxxx，()2xfxx2()4[0,1]fxxxax，（1）求二次函数上的最值.(2).函数在区间[2，4]上的最大值为最小值为（3）已知函数，若有最小值-2，则的最大值为()fx()fx（4）若函数在上为增函数，则实数的范围是.()||2fxaxb[0,),ab(5)求在区间上的最大值和最小值2()21fxxax[0,2]1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值,即存在，使得；0xI2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．3.如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；4.如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；0()fxM温馨提示)(),2(-22-)2()(),(2-10,)(00nfabfnmabxmnfmfmabxanmcbxaxxf为时值域当时值域为）当（若方法是：上的值域或最值的一般在总结：求二次函数？当时值域为当为时值域当0)(),(2-x)4()(),2ab(-2-2)3(00amfnfnabmffnabxnm