高中三角函数的概念

高中三角函数的概念【考点导读】1．理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合ZkkS,360；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式rl及扇形的面积公式S＝lr21（l为弧长）解决问题.2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)Pxy（不同于坐标原点），设OPr（220rxy），则的三个三角函数值定义为：sin,cos,tanyxyrrx．从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为{|,,}2RkkZ．3．掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6、4、3、2的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.4．掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．【基础练习】1．885化成2(02,)kkZ的形式是．2．已知为第三象限角，则2所在的象限是．3．已知角的终边过点(5,12)P，则cos=，tan=．4．tan(3)sin5cos8的符号为．5．已知角的终边上一点(,1)Pa（0a），且atan，求sin，cos的值．解：由三角函数定义知，1a，当1a时，2sin2，2cos2；13612第二或第四象限513125正当1a时，2sin2，2cos2．【范例解析】例1.（1）已知角的终边经过一点(4,3)(0)Paaa，求2sincos的值；（2）已知角的终边在一条直线3yx上，求sin，tan的值．分析：利用三角函数定义求解．解：（1）由已知4xa，5ra．当0a时，5ra，3sin5，4cos5，则22sincos5；当0a时，5ra，3sin5，4cos5，则22sincos5．（2）设点(,3)(0)Paaa是角的终边3yx上一点，则tan3；当0a时，角是第一象限角，则3sin2；当0a时，角是第三象限角，则3sin2．点评：要注意对参数进行分类讨论．例2.（1）若sincos0，则在第_____________象限．（2）若角是第二象限角，则sin2，cos2，sin2，cos2，tan2中能确定是正值的有____个．解：（1）由sincos0，得sin，cos同号，故在第一，三象限．（2）由角是第二象限角，即222kk，得422kk，4224kk，故仅有tan2为正值．点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例3.一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值．解：设扇形的半径为x㎝，则弧长为(202)lx㎝，故面积为21(202)(5)252yxxx，当5x时，面积最大，此时5x，10l，2lx，所以当2弧度时，扇形面积最大252cm．点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．【反馈演练】1．若sincos且sincos0则在第_______象限．2．已知6，则点(sin,tan)A在第________象限．3．已知角是第二象限，且(,5)Pm为其终边上一点，若2cos4m，则m的值为_______．4．将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为．5．若46，且与23终边相同，则=．6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．7．（1）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为82cm，当扇形的中心角(0)为多少弧度时，该扇形周长最小．简解：（1）该扇形面积22cm；（2）2182rlyrl，得16282yrr，当且仅当22r时取等号．此时，42l，2lr．二三31216311sin211cos1