13.4.1--课题学习-最短路径问题

13.4课题学习最短路径问题(1)如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短①②③复习：FEDCBA(1)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.P连接AB，线段AB与直线l的交点P就是所求.A..Bl1、如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短练习：B·lA·(2)两点在一条直线同侧BAl问题牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？探索新知问题如图，点A，B在直线l的异侧，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A与点B的距离的和最短？lB·A·P你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知B·lA·B′C问题如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′∴AC+BC=AC+B′C=AB′AC′+BC′=AC′+B′C′探索新知B·lA·B′CC′你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′∴AC+BC＜AC′+BC′即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？2、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习：(3)一点在两相交直线内部已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小.O.ANM.A1A2BC...4、某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线OA的对称点点D,2.作点C关于直线OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA、OB于点M、N，则CM+MN+CN最短AOBEDMN练习：C.证明：在直线OA、OB上分别任取一点G、H，连接GC、GH、CH、GD、HE.∵点D、点C关于直线OA对称，点G、H在OA上，∴GD=GC，MD=MC，同理NC=NE，HC=HE，∴MC+NC+MN=MD+NE+MN=DEGC+GH+HC=GD+GH+HE∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短）即GC+GH+HC＞MC+NC+MN即MC+NC+MN最短.EAOBDMNGHC.5、如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的M处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPM山河岸大桥BCM.P..D.E练习：如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B，请画出最短路径.作法：1.作点A关于直线MN的对称点点C,2.作点B关于直线ON的对称点点D,3.连接CD分别交直线MN、ON于点G、H，则AG+GH+BH最短MNOB··ACDGH(4)两点在两条直线内部证明：在直线MN、ON上分别任取一点E、F，连接EA、EC、FB、FD.∵点A、C关于直线MN对称，点G、E在MN上，∴GA=GC，EA=EC,同理HB=HD，FB=FD,∴GA+GH+HB=GC+GH+HD=CDEA+EF+FB=EC+EF+FD在四边形CEFD中，∵EC+EF+FD＞CD（两点之间，线段最短）即EC+EF+FD＞GA+GH+HB即GA+GH+HB最短.MNOB··ACDGHFE小结与作业：（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？教科书复习题13第15题．•本节课“饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．•学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．•学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．