【初高中衔接】第二讲--因式分解

2020年8月22日星期六2020年8月22日星期六因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等．2020年8月22日星期六一、公式法(立方和、立方差公式)33223322()()()()ababaabbababaabb两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．【例1】因式分解：33(1)8(2)0.12527xb3332182242:()()().xxxxx解3332222012527053053050533053025159()..()(.)[..()](.)(..).bbbbbbbb2020年8月22日星期六一、公式法(立方和、立方差公式)【例2】因式分解：()(2)34761381abbaab(1)343322:3813(27)3(3)(39).abbbabbabaabb解()76663333222222222()()()()()()()()()()().aabaabaababaabaabbabaabbaababaabbaabb766622422422222222222()()()()[()]()()()().aabaabaabaabbaabababaababaabbaabb或2020年8月22日星期六二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．mambnanb【例3】因式分解：2105axaybybx说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．210525552:()()()().axaybybxaxybxyxyab解2020年8月22日星期六二、分组分解法【例4】因式分解：2105axaybybx【例5】因式分解：2105axaybybx222222222222:()()()()()()()().abcdabcdabcabdacdbcdabcacdbcdabdacbcadbdbcadbcadacbd解22222222242822422222:()[()()]()().xxyyzxxyyzxyzxyzxyz解2020年8月22日星期六三、十字相乘法1．2()xpqxpq型的因式分解22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq2()()()xpqxpqxpxq【例6】因式分解：22176(2)1336()xxxx2(1)761616:[()][()]()().xxxxxx解2(2)133649()().xxxx【例7】因式分解：22222(1)6(2)812()()xxyyxxxx2222(1)6632:()().xxyyxyxxyxy解22222(2)812623221()()()()()()()().xxxxxxxxxxxx2020年8月22日星期六三、十字相乘法2．一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()axcaxcaaxacacxcc．反过来，就得到：2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【例8】因式分解：22211252(2)568()xxxxyy2112523241:()()().xxxx解3241222568254()()().xxyyxyxy12542020年8月22日星期六三、十字相乘法【例9】因式分解：22212728(2)2155()()()xxxxxxaxa分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.22:(1)(21)(28).xxxx解原式2(2)(215)(5)(3)(5)(5)(5)(3).xxaxaxxaxxxa原式2020年8月22日星期六四、配方法【例10】因式分解：2221616(2)44()xxxxyy222:(1)616(3)5(8)(2).xxxxx解22222(2)44(44)8xxyyxxyyy22(2)8(222)(222).xyyxyyxyy说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．2020年8月22日星期六五、拆(添)项法【例11】因式分解：3234xx3232:34(1)(33)xxxx解2(1)(1)3(1)(1)xxxxx2(1)[(1)3(1)]xxxx22(1)(44)(1)(2).xxxxx说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解；(3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．