关于调和函数的论文(整理版)

毕业论文题目：(,)HS函数类的性质学院：数学科学学院专业：数学与应用数学届别：2008届学号：0821111009姓名：胡孔勇指导老师：韩雪、华侨大学教务处印制2012年5月1目录:摘要..............................................................................................................................................................2Abstract......................................................................................................................................................3引言：..........................................................................................................................................................4主要结论及证明..........................................................................................................................................51．单叶保向性........................................................................................................................................52．模偏差估计........................................................................................................................................63．k拟共形映照.................................................................................................................................74．双向Lipschitz性质...........................................................................................................................85．凸组合的情况....................................................................................................................................96．邻域的定义及相关性质..................................................................................................................107．凸区域性质......................................................................................................................................118．卷积的定义及性质..........................................................................................................................12致谢语:......................................................................................................................................................13参考书目....................................................................................................................................................132摘要本文对保向单叶调和函数类HS中的一类子族(,)HS的性质进行研究，由已知类似函数类的性质推导这类函数族的单叶性，保向性，摸偏差估计，拟共形性质，邻域的相关性质，以及其他性质，并得到一些合理的结论。关键词：调和函数,(,)HS函数类,单叶性,模偏差,拟共形,邻域3AbstractInthispaper,wewilldosomeresearchaboutafunction-class(,)HS,whichisonesubclassofHS.AndHSstandsforthefunctionswhichareharmonicunivalentandsensepreservingintheunitdiskU.Wederivatesomepropertiesaboutthefunctionsin(,)HSfromsomeconclusionwehaveknown,suchasunivalentandsensepreserving,absolutevaluedeviation,biLipschitz,—neighborhood,andsoon.Fromthiscertificateprocess,weobtainsomereasonableresults.Keywordsharmonicfunction,(,)HSsubclass,sensepreservingabsolutevaluedeviation,—neighborhood4引言：设()fzuiv为定义在区域D上具有二阶连续偏导数的函数，如22220fffxy,则()fz为D上的调和函数。令{|||1}Uzz为单位圆盘，()fz为定义在U上的单区域叶保向调和函数，由区域U的单连通性我们知道存在()hz和()gz为U上的解析函数，使得()()()fzhzgz，又因为()fz单叶保向，故由Lewy定理知()fz的Jacobian恒正(即'2'2|()||()|0fJhzgz)，若进一步存在常数01k，使得''|()||()|gzkhz，则称()fz为U上的调和k-拟共形映照。设()()()fzhzgz为定义在单位圆盘{|||1}Uzz上的调和函数，其中2()nnnhzzaz，1()nnngzbz………………………………(1)为U上的解析函数，令,(0,1)，则定义12(,)|()()(),(1)(||||)1||11nnnnnHSffzhzgzhgabb其中，由式表示，且为U上的一类调和函数。5主要结论及证明1．单叶保向性结论：若定义在U上的调和函数(),fHS，则()fz是单叶保向调和函数。证明：①.单叶性按照定义，对12,zzU，且12zz，则有：1212121211|()()||()()|nnnnnnnnfzfzzzazzbzz112122(1||)||(||||)||nnnnnbzzabzz112(1||)||bzz1112122(||||)|||...|nnnnnabzzzz112122(1||)||(||||)||nnnnnbzznabzz112(1||)||bzz122(||||)||11nnnnnabzz112112(1||)||(1||)||bzzbzz0即对12zz，12|()()|0fzfz，故()fz是单叶的。②.保向性：对zU，有：'2'2''''|()||()|(|()||()|)(|()||()|)fJhzgzhzgzhzgz''1121(|()||()|)(|1|||)nnnnnnhzgznaznbz6''112(|()||()|)(1||(||||)||)nnnnhzgzbnabz''212(|()||()|)(1||(||||)||)11nnnnnhzgzbabz''211(|()||()|)(1||(1||)||)hzgzbbz''21(|()||()|)(1||)(1||)hzgzbz0故()fz是保向的。2．模偏差估计结论：若()(,)fzHS，令||1zr，则有21|()|(1||)()fzbrr，且211|()|(1||)(1||)fzbrbr证明：设()fz是U上的调和函数，且()(,)fzHS，则22|()|||nnnnnnfzzazbz12(1||)||(||||)||nnnnbzabz212(1||)||(||||)||11nnnnnbzabz211(1||)(1||)brbr21(1||)()brr另一方面：22|()|||nnnnnnfzzazbz12(1||)||(||||)||nnnnbzabz212(1||)||(||||)||11nnnnnbzabz211(1||)(1||)brbr73．k拟共形映照结论：设()(,)fzHS，则()fz为k拟共形映照。证明：设()(,)fzHS，由(1)式得122||1||||11nnnnnnabb再由1nn，1nn得22||||1nnnnnnaa，11||||1nnnnnnbb则有''()||()gzhz1112|||1|nnnnnnnbznaz122||||1||nnnnbnbna122(1)||||11||nnnnnnbbnna1222(1)||||211||nnnnnbbna11222(1)||(1||||)211||1nnnnnbbana12||2(1)2(1)(1)1221||1nnbkna故，()fz为k拟共形映照。84．双向Lipschitz性质结论：设()(,)fzHS，则当012时，()fz为双向Lipschitz函数，即有111121212(2)(1||)4(1||)2(1||)|||()()|||22bbbzzfzfzzz证明：设()(,)fzHS，则122||||1||11nnnnnna