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一元二次方程【教学目标】1.了解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的公式解法和其他解法;能够根据方程的特征,灵活运用一元二次方程的解法求方程的根。2.理解一元二次方程的根的判别式,会运用它解决一些简单的问题。3.进一步培养学生快速准确的计算能力。4.进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力。进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力。【教学重点】一元二次方程的解法及判别式。【教学难点】配方法。【教学过程】本节课是一堂复习课,复习的内容是一元二次方程的解法及根的判别式。1.熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键,一元二次方程的解法是本章的重点,解法有四种,一种是直接开平方法,它以平方根的概念为基础。适合于形如(ax+b)2=c(a≠0,c≥0)类型的方程。第二种方法是配方法,用配方法推导求根公式,由此产生了第三种方法即公式法,它是解一元二次方程的主要方法,是解一元二次方程的通法。第四种方法是因式分解法,适用于方程左边易于分解,而右边是零的方程。由此可归纳出解一元二次方程时,一般先考虑直接开平方法,再考虑因式分解法,最后考虑公式法。一元二次方程根的判别式的意义在于不解方程可以判别根的情况,还可以根据根的情况确定未知值的取值范围。由此可以启发学生运用数学知识,提高分析问题和解决问题的能力。一、知识点:复习提问,总结内容。启发引导,总结所学过的知识点及它们之间的相互联系和相互作用。培养学生归纳、总结的能力。二、课堂练习:练习1.下列方程中,哪些是一元二次方程?(2)(x+3)(x-3)=0;(4)2x2-y+2=0;(5)(2x-1)(x+3)=2x2+1;(6)(m-1)x2+3mx-m=0(m≠1的常数)。学生口答,相互评价,强调判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是不是一元整式方程。在此前提下,通过去括号、移项,合并同类项等步骤化简整理后,再看未知数的最高次数是不是2.练习2.写出下列方程的二次项系数,一次项系数和常数项。(1)(3x-1)(x+1)=6-(x-2)2,(2)关于x的方程kx2+2kx=x2-k-3(k≠1)。学生笔答、板书、评价。注意以下两点:(1)必须将一元二次方程化成一般形式。(2)二次项系数通常化为正数,各项系数包括它的符号。练习3.解下列方程(1)3x2-48=0(直接开平方法);(2)(x+a)2=225(直接开平方法);(3)2x2+7x-4=0(配方法);(4)2x2-x=5(公式法);(5)(3x-1)2=6x-2(因式分解法);(6)abx2+a2x-b2x-ab=0(因式分解法);学生板书、笔答,教师点拨。和学生一起回忆配方法和公式法的步骤,直接开平方法,因式分解法解一元二次方程,体现了“转化”和“降次”的思想方法,即把二次方程转化为一次方程求解,通过开平方和因式分解达到“降次”。练习4.选择适当方法解下列方程(2)5x2-7x+1=0;(3)4x2-5x+1=0;(4)4(x+2)2-9(x-3)2=0.分析:用什么方法解方程,主要依据方程的特点。(1)可用直接开平方法,也可用因式分解法。(2)可用公式法和配方法。(3)可采用因式分解法。(4)可采用直接开平方法和因式分解法。分析完毕,学生板书,笔答,评价。最后总结如下结论:解一元二次方程时,一般先考虑直接开平方法,再考虑因式分解法,最后考虑公式法。练习5.1.求m为什么实数时,方程(m-1)x2-6x+3=0.①有实数根;②没有实数根。引导学生分析:由于二次项系数是m-1,当m-1=0时,方程为一元一次方程;当m-1≠0时,方程为一元二次方程,据题意,要根据这两种情况分别议论。解:(1)当m-1=0,即m=1时,原方程为-6x+3=0,即当m=1时,方程有实数根。当m-1≠0,即m≠1时,原方程的根的判别式为Δ=(-6)2-4×3(m-1)=48-12m,由Δ=48-12m≥0,得m≤4.∴当m≤4且m≠1时原方程有两个实数根。综上所述,当m≤4时,原方程有实数根。(2)当Δ=48-12m<O,即m>4时,原方程没有实数根。2.求证:关于x的方程x2-(k+4)x+k+1=0有两个不相等的实数根。分析:利用“Δ”证明方程根的情况,首先应把方程化成一般形式,写出根的判别式的代数式,然后利用因式分解法或配方法来确定判别式的符号,进而得出结论,本题只需证明对于任意的实数k都有Δ>0即可。分析完毕,学生板书、笔答,评价。三、课堂小结:1.本节课复习的主要内容2.通过本节课的学习,能选择恰当的方法解一元二次方程,更进一步锻炼学生快速准确的计算能力及推理论证能力,更进一步深刻体会“转化”及“配方”的思想方法。【作业布置】1.同步测试。2.(1)已知:关于x的方程kx2+2(k-3)x+k+2=0有两个实数根,求k的取值范围。(2)已知:a,b,c为一个三角形的三条边,且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根,求证这个三角形是直角三角形。
本文标题:一元二次方程优秀教案
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