基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法

75第5卷第1期石家庄铁路职业技术学院学报VOL.5No.12006年3月JOURNALOFSHIJIAZHUANGINSTITUTEOFRAILWAYTECHNOLOGYMar.2006基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法王渝1）杨建新2）王玉彩1）（石家庄铁路职业技术学院1）河北石家庄050041太原理工大学2）山西太原030024）摘要：由开环对数幅频特性求系统传递函数的问题类型较多，对这类问题的求解方法进行分析、总结，并通过例题加以说明。关键词：传递函数环节性质转折频率斜率中图分类号：TP311.11文献标识码：A文章编号：1673-1816(2006)01-0075-05在工程实际中常常要针对给定的控制对象和所要求达到的一定的性能指标，设计和选择控制器的结构与参数来校正系统。当选用频率法来校正系统时经常会遇到一类问题，即由已知的开环对数幅频特性求系统的传递函数，如不摸清这类问题的规律，就不知道该从何处下手解决，且很容易将一些环节丢掉，不能完整的求出系统的传递函数。因此提出这类问题的求解方法，以供同行参考。由开环对数幅频特性求系统传递函数的解算方法可以分为以下四个步骤：1由低频段渐近线斜率求出系统含有积分环节的个数具体做法是：先在系统开环对数幅频特性的渐近线上找出第一个转折频率ω1，然后由ω1之前渐近线的斜率求出系统开环传递函数含有的积分环节的个数，即：―20×V=第一个转折频率ω1之前渐近线的斜率（V表示积分环节的个数），求出积分环节的个数后，可将积分环节的传递函数1表示为G(s)sn例1．第一个转折频率ω1=2，ω1之前渐近线的斜率为0，所以―20×V=0，得V=0，该系统不含有积分环节。例2．第一个转折频率ω1=0.1，ω1之前渐近线的斜率为―40，所以―20×V=―40，得V=2，该系统含有两个积分环节，积分环节的传递函数为G(s)1。s2收稿日期：2005-12-12作者简介：王渝（1978-），女，蒙族，河南镇平人，本科，助教，研究方向自动化。石家庄铁路职业技术学院学报2006年第1期因为系统的开环对数幅频特性在第一个转折频率之前渐近线的斜率就是―20×VdB/dec,即由积分环节的个数V来决定的，因此可以用―20×V=第一个转折频率ω1之前渐近线的斜率来求V的值。2确定系统所含其它环节的性质找出所有的转折频率ω1、ω2、ω3、，由每个转折频率前后渐近线的斜率确定系统含有的环节的性质。通过观察转折频率前后渐近线的斜率是减小了，还是增加了，就可以判断出系统中是否含有惯性环节、一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节，之后再写出表示这些环节的传递函数。具体的做法见表1，表1转折频率ω前后渐近线斜率的变化系统所含环节性质对应环节的时间常数1对应环节的传递函数1减小20dB/dec惯性环节Tw一阶微分环1G(s)Ts1增加20dB/dect节w1G(s)ts11减小40dB/dec振荡环节Tw二阶微分环1G(s)T2s22xTs1例3．增加40dB/decTG(s)T2s22xTs1节w第一个转折频率ω1=2，ω1前后渐近线的斜率由―20dB/dec变到了―40dB/dec，减小了20dB/dec，所以系统含有一个惯性环节，其时间常数T1w110.5，该惯性环节的传递函数为例4．第一个转折频率ω1=0.5第二个转折频率ω2=2G(s)。0.5s1ω1前后渐近线的斜率由―40dB/dec变到了―20dB/dec，增加了20dB/dec，则系统含有一个一阶微分环节，其时间常数t12w1，该一阶微分环节传递函数为G(s)2s1；ω2前后渐近线的斜率由―20dB/dec变到了―40dB/dec，减小了20dB/dec，则系统含有一个惯性环节，其时间常数T1w20.5，该惯性环节的传递函数为G(s)1。0.5s176第1期王渝，等基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法例5．第一个转折频率ω1=0.1，ω1前后渐近线的斜率由―40dB/dec，变到了―80dB/dec，减小了40dB/dec，则系统含有一个振荡环节，其时间常数T1w110，该振荡环节的传递函数为G(s)1。3求开环放大倍数K的值100s220sx1在任何系统的开环传递函数中都含有比例环节，其比例系数即为K，K的值可大于、小于或等于1，但K的值一定是大于0的，因此还要求出K的值。求K的值有很多方法，每一种方法都有其特有的前提条件，对于不同的情况应该用不同的方法求K的值，现将这些方法总结如下：3.1由ω=1时的L（ω）值求K，即L（ω）=20lgK,此方法还要由第一个转折频率ω1的取值再细分为两种：3.1.1当ω1≥1时,直接由已知的开环对数幅频特性求ω=1时L（ω）的值，然后算出K的值。例6．第一个转折频率ω1=10，ω11，由图可知当ω=1时，L（ω）=20dB，所以L（ω）=20lgK=20，得K=10。例7．第一个转折频率ω1=1，图上已经标出当ω=1时，L（ω）=10dB，所以L（ω）=20lgK=10，得K=3.16。例8．第一个转折频率ω1=2，ω11，但图中未标出ω=1时L（ω）的值，所以要先经过计算得出ω=1时L（ω）的值，计算方法如下：L(2)0lg2lg28L(1)45.89lg1lg2=―40，得L(2)=45.89dB,=―20，得L(1)=51.89dB，而L(1)的值即为ω=1时L（ω）的值，所以L（1）=20lgK=51.89，得K=393。3.1.2当ω11时,先将第一个转折频率之前低频段的渐近线延长，与过横轴ω=1处的垂线相交，求出交点处的纵坐标，然后由“交点的纵坐标=20lgK”算出K的值。例9．第一个转折频率ω1=0.5，ω11，将ω1之前低频段的渐近线延长，并从横轴ω=1处做垂77w20石家庄铁路职业技术学院学报2006年第1期线，与刚才做的延长线相交与A点，如图所示，下面先求A点的纵坐标，L(0.5)=6dB,L(0.5)0lg0.5lg1=―20，得6LA(w)lg0.5lg1=―40，得LA（ω）=―6dB,所以LA（ω）=20lgK=―6，得K=0.5。3.2若已知截止频率ωc，由A(ωc)=1求K的值。例10．由图可知截止频率ωc=28，第一个转折频率ω1=2，ω1之前渐近线的斜率为―20，所以―20×V=―20，得V=1，该系统含有一个积分环节，其1传递函数为G(s)；s1由例3可知该系统还含有一个惯性环节，其传递函数为G(s)，0.5s1由此可写出系统传递函数的表达式为G(s)Ks(0.5s1)，其中K的值未知，待求，下面求K：系统的频率特性为G(jw)KK，幅频特性为A(w)，jw(j0.5w1)w1(0.5w)2K因L(ωc)=0，即L(ωc)=20lgA(ωc)=0,故A(ωc)=1，A(wc)=1，wc1(0.5wc)代入ωc=28，得A(wc)28K1(0.528)2=1，于是得K=393，此结果与例8所求K值一样。3.3由低频段渐近线的延长线与横轴交点处的频率值ω0求K,即K=n例11．（V表示积分环节的个数）。第一个转折频率ω1=2，ω1之前渐近线的斜率为―20，所以―20×V=―20，得V=1；由图可知ω1之前低频段渐近线的延长线与横轴n1交点处的频率ω0=10，所以K=w0=10=10。4确定系统开环传递函数具体做法：将已确定的典型环节的传递函数相乘，得出系统的开环传递函数G(s)。例12．综合示例：已知某最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，试写出系统的开环传递函数。78第1期王渝，等基于开环对数幅频特性求系统传递函数的方法（1）第一个转折频率ω1=0.01，第二个转折频率ω2=0.1，第三个转折频率ω3=8，第四个转折频率ω4=20，ω1之前渐近线的斜率为―40，所以―20×V=―40，得V=2，该系统含有两个积分环节，其传递函数为表21G(s)；（2）系统所含其它环节的性质分析见表2，s2转折转折频率前后渐频率近线斜率的变化系统所含环节性质对应环节的时间常数对应环节的传递函数ω1增加40dB/dec二阶微分环节T1w1100G(s)104s2200sx1ω2减小20dB/dec惯性环节T1w210G(s)110s1ω3减小20dB/dec惯性环节1Tw30.125G(s)10.125s1ω4减小20dB/dec惯性环节T1w40.05G(s)10.05s1（3）由图可知ω1之前低频段渐近线的延长线与过横轴ω=1处的垂线相交，交点处的纵坐标L（ω）=-40dB,所以L（ω）=20lgK=-40，得K=0.01；（4）将系统包含的所有典型环节的传递函数相乘，得出系统的开环传递函数为G(s)0.01(104s2200sx1)s2(10s1)(0.125s1)(0.05s1)参考文献：（责任编辑张宇平）[1]刘祖润.自动控制原理[M].北京:机械工业出版社,2000,6[2]史忠科,卢京潮.自动控制原理常见题型解析及模拟题[M].西安:西北工业大学出版社,1998,9[3]谢克明,刘文定.自动控制原理[M].北京:兵器工业出版社,1998,9MethodforObtainingSystemTransferFunctionBasedonOpenLoopLogarithmAmplitudeFrequencyCharacteristicWangYu1)YangJianxin2)WangYucai1)1)(ShijiazhuangInstituteofRailwayTechnology2)ShijiazhuangHebei050041TaiYuanUniversityofTechnologyTaiyuanShanxi030024China)Abstract:Therearemanytypesofproblemsonobtainingsystemtransferfunctionbasedonopenlooplogarithmamplitudefrequencycharacteristic.Answeronthistypeproblemisanalysedandsummarizedwithsomeexamples.Keywords:transferfunctionlinkcharactercornerfrequencyslope79