系统状态变量分析讲义

第八章系统的状态变量分析§8.1引言§8.2连续时间系统状态方程的建立§8.3连续时间系统状态方程的求解§8.4离散时间系统方程的建立§8.5离散时间系统状态方程的求解§8.7系统的可控性和可观性§8.1引言一.经典理论的缺陷(局限性)1.建立在输入输出模型之上的，着眼于系统的外部特性，不能揭示系统的内部特性。2.适于单输入单输出系统。3.经典线性理论的系统函数概念不能用来处理非线性，时变系统。二.现代理论的优点1.引入描述系统内部特性的状态变量，建立状态方程，可以揭示系统的内部特性。2.适用于多输入-多输出系统。3.可用来描述时变系统，非线性系统。4.易于利用计算机求解。三.本章主要内容1.状态方程的普遍形式。2.连续时间系统状态方程得建立及求解。3.离散时间系统状态方程得建立及求解。4.系统的可控性和可观性。)(tvc(2))()((1))()()()(dttdvCtitetvdttdiLtRicLcLL)()()()(22tetvdttdvRCdttvdLCccc四.简单实例：串联谐振电路。1.只关心激励e(t)与电容两端电压模型之间的关系列输入输出)()()(tetvticL在dttdiL)(dttdvc)()()(tvticL(4))(1)((3))(1)(1)()(tiCdttdvteLtvLtiLRdttdiLccLL)(tiL)(tvc2.这些量的变化清况，对这个电路会有更全面了解，导数是描述一个变量随另一个变量变化情况的物理量。所以只要能得到，的方程，就可以知道变化情况。这是以和作为变量的一阶微分联立方程组。的作用下，是一些随时间变化的量，若知道)(tiL)(tvc)(01)()(011)()(teLtvtiCLLRtvdtdtidtdcLcL)()(10)(tvtitrcL若已知的行为。和这种用一阶联立方程组来描述系统的方法称为状态变量或状态空间法。写成标准矩阵的形式：状态方程输出方程的初始情况及e(t)的情况，即可确定电路0tt0tt0tt00t五、一些基本概念1.状态：指系统的运动状态，只表示系统的一组最少变量。只要知道是这组变量及时的输入，那么就能确定系统在任何时间的行为。一般取。系统为n阶系统，就有n个状态。2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感电流为状态变量。)(1tx)(2tx)(txn)(...)()()(21txtxtxtxnTntxtx)().......(13、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量，，…=排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：每两个状态都为状态向量的一个分量，或称坐标。)(1tx)(2tx)()()(21txtxtx)(1tx)(2tx4、状态空间：以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间称为状态空间。任意状态x(t)都可用状态空间中的一个点来表示。,，则状态向量状态空间是由,5、状态轨迹：在状态空间中状态矢量随时间变化而描出的路径。例：若有两个状态为轴构成的二维空间。6、状态方程：一般形式]),(),...(),();(),...(),([)(..]),(),...(),();(),...(),([)(]),(),...(),();(),...(),([)(2121212122212111ttetetetttftdtdttetetetttftdtdttetetetttftdtdmkkkmkmk特点：①每一个状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数。②每一个微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数。③连续系统的状态方程用状态变量的一阶微分联立方程组描述。)(...)()()(...)()()(..)(...)()()(...)()()()(...)()()(...)()()(22112211.222212122221212.121211112121111.tebtebtebtatatattebtebtebtatatattebtebtebtatatatmkmkkkkkkkkmmkkmmkk说明：①系统有m个输入，r个输出。是多输入多输出系统。②有个k状态变量，为k阶系统。③…表示函数关系。[.]1f[.]2f，1212122221112111212122221112111..2.1)(..)()(........................)(..)()(........................)(..)()(mmmkkmkkmmkkkkkkkkkkkktetetebbbbbbbbbtttaaaaaaaaattt)(.t)(t)(.t)(t写成标准矩阵形式A简写为：=AA：系统矩阵B：控制矩阵注：状态方程把状态变量和激励信号联系起来。Be(t)+Be(t)7、输出方程：一般形式:]),(),...(),();(),...(),([)(..]),(),...(),();(),...(),([)(]),(),...(),();(),...(),([)(2121212122212111ttetetettthtrttetetettthtrttetetettthtrmkrkmkmk说明：①系统有m个输入，r个输出。k个状态变量。[.]1h[.]2h②，…表示函数关系，可为线性，也可为非线性。③输出信号是状态变量和输入信号的函数。④输出方程是用来从已知激励向量e(t)与状态向量)(t求系统响应向量r(t)的矢量代数方程。若系统为LTI系统，输出方程的标准矩阵形式。121212222111211121212222111211121)(..)()(........................)(..)()(........................)(..)()(mmmrrmrrmmkkkrrkrrkkrrtetetedddddddddtttccccccccctrtrtr)(trC)(tDe(t)简写为：)(tr=C)(t+De(t)C：输出矩阵)(...)()()(...)()()(..)(...)()()(...)()()()(...)()()(...)()()(22112211222212122221212121211112121111tedtedtedtctctctrtedtedtedtrtctctrtedtedtedtctctctrmrmrrkrkrrrmmkkmmkk状态方程与输出方程共同称为系统方程，这两个方程完整描述了系统特性。8、系统方程状态方程：)()()(.tBetAt输出方程：r(t)=C)(t+De(t)状态变量：选积分器的输出连续：电容、电感、离散、延时器的输出E1信号流图321,,xxx是输入结点，只有输出。65,xx是输出结点，只有输入。4x混合结点，既有输入又有输出一.信号流图：用一些点和支路来描述系统。点：称为结点，表示系统中变量或信号的点。支路：带箭头的线段，表示信号的传输路径、传输方向。二.信号流图的运算1.支路表示一个信号与另一个信号的函数关系。每一条支路相当于一个乘法器4545Hxx2.结点值：把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。3432421414HxHxHxx4545Hxx4646Hxx3.串联支路的总增益等于所有各支路增益的乘积。13abxx4.并联支路的总增益等于所有各支路增益的和。12)(xbax∴增益两个因子相加，可用并联支路来表示。∴增益两个因子相乘，可用串联支路来表示。5.流图转置把流图中各支路的信号传输方向给以调转，同时把输入输出结点对调。说明：①流图转置后，转移函数保持不变②信号流图形式不唯一。画转置流图：①把箭头方向调转。②把输入输出结点对调，其他中间结点可选用新的变量表示。三.信号流图的梅森增益公式(用来求输入输出间的转移函数)mkkkgH11=1-[所有环路的增益之和]+[两两互不接触环路增益乘积之和]-[每三个互不接触环路增益乘积和]+…称为流图的特征行列式。分母与环路有关。分子：有n条前向通路，就有n个因子相加，与前向通路有关。M：表示从输入到输出之间前向通路的条数。kg：第k条前向通路的增益。k：除去与第k条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式(余因子)在环路的增益应全部去掉。中包含与第k条前向通路相接触的前向通路：从输入结点到输出结点方向的通路上，通过任何结点不等于一次的全部路径。环路：通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他结点相交不等于一次。不接触环路：两环路之间没有任何公共结点．例：用梅森公式求系统的转移函数。解：1.求①找所有的环路1211:xxxL221GHL3432:xxxL332GHL443:xyxL443GHL143214:xyxxxxL14324GHHHL323221GGHHLL424231GGHHLL②在4个环路中找两两互不接触的环路。若找不到两两互不接触的环路，即意味着所有环路都互相接触。][][1424232321432443322GGHHGGHHGHHHGHGHGH③在4个环路中找每三个互不接触的环路。（无）对负反馈回路，分母中都是相加关系。2.求mkkkg143211HHHHg相接触的环路剩下的部分这4个环路都和前向通路相接触)0011)()(14422332214324433224321GHGHGHGHGHHHGHGHGHHHHHH找前向通路，只有一条(除去与这条前向通路分析：只有一条前向通路∴分子只有一项若所有环路都互相接触，则第三项(分母)没有，即所有环路都有一个公共结点。由于是负反馈∴分母是1+目的：是把系统函数H(s)表示成信号流图形式，由信号流图来写出系统的状态方程和输出方程。四.由系统函数H(s)画信号流图例：sasbasbsH1)(把分母画成标准形式1+…分析：分子只有一项∴只有一条前向通路分母为sa1，为负反馈，只有一个反馈回路。注：若有反馈信号与输入信号叠加时，则可以激励(输入)结点引出一条传输函数为1的支路。若输出端有反馈信号流出时，在流图中信号进入响应结点的地方可加一条传输函数为1的支路。例：nm......)(122111110nnnnnmmmmasasasasbsbsbsbsH解：画成标准形式：)...(1...)(1122111110nnnnnmnmmnmnsasasasasbsbsbsbsH分母：1+…分子：m+1项的和，∴由m+1条前向通路组成。∴是由负反馈构成，可看成是n个环路组成且n个环路互相接触。s1s1积分环节：每一个用一条支路来表示。先画出n个积分器。第一个积分器输出用1x表示。第二个积分器输出用2x表示。…例：3212)(2ssssH2232112ssss练习:423232)(232ssssssH§8.2连续时间系统状态方程的建立一.由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程（按H(s)一般表达式画流图）)(...)()()()(...)()(11