最新2019-2020年度人教版九年级数学上册《解一元二次方程》教学设计-优质课教案

21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教学内容运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.教学目标理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.教学重难点重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.教学过程一、教师导学学生活动:请同学们完成下列各题问题1.填空(1)x2-8x+=(x-)2;(2)9x2+12x+=(3x+)2;(3)x2+px+=(x+)2.问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点A以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?老师点评:问题1:根据完全平方公式可得:(1)164;(2)42;(3)()2.问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x,BQ=2x依题意,得:x·2x=8x2=8根据平方根的意义,得x=±2即x1=2,x2=-2可以验证,2和-2都是方程x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2.二、合作与探究上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2即2t1+1=2,2t2+1=-2方程的两根为t1=-,t2=--【例1】解方程:x2+4x+4=1分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.解:由已知,得:(x+2)2=1直接开平方,得:x+2=±1即x1+2=1,x2+2=-1所以,方程的两根x1=-1,x2=-3【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2,求每年人均住房面积增长率.分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1+x)2=14.4(1+x)2=1.44直接开平方,得1+x=±1.2即1+x1=1.2,1+x2=-1.2所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,即“降次转化思想”.三、巩固练习教材P6练习.四、能力展示某公司一月份营业额为2万元,第一季度总营业额为6.62万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?五、总结提升本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±,达到降次转化之目的.六、布置作业教材P16习题21.21、2.第2课时配方法教学内容通过变形运用开平方法降次解方程.教学目标理解通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解和不能直接化成上面两种形式的解题步骤.教学重难点重点:讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤”.难点:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.教学过程一、教师导学(学生活动)请同学们解下列方程(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±或mx+n=±(p≥0).如:4x2+16x+16=(2x+4)2二、合作与探究列出下面问题的方程并回答:(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?问题:如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m2,道路的宽为多少?解:设道路的宽为x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500整理,得:x2-36x+70=0(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后一个不具有.(2)不能.既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程【例1】解方程:x2-36x+70=0.老师点评:x2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,x-18=±,x1-18=或x2-18=-,x1≈34,x2≈2.可以验证x1≈34,x2≈2都是原方程的根,但x≈34不合题意,所以道路的宽应为2.【例2】解下列关于x的方程2x2-4x-1=0解:x2-2x-=0x2-2x=x2-2x+12=+1(x-1)2=x-1=±即x1-1=,x2-1=-x1=1+,x2=1-可以验证:x1=1+,x2=1-都是方程的根.像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.三、巩固练习教材P9练习12.(1)、(2).四、能力展示如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,BC=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.五、总结提升本节课应掌握:配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.六、布置作业教材P17习题21.23.21.2.2公式法第1课时一元二次方程根的判别式教学内容一元二次方程根的判别式,即Δ=b2-4ac.教学目标1.熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况;2.会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围.教学重难点1.运用判别式求出符合题意的字母的取值范围;2.运用判别式判别一元二次方程根的情况.教学过程一、教师导学对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,我们知道Δ=b2-4ac.当Δ0时,方程有两个不等的实数根;Δ=0时,方程有两个相等的实数根;Δ0时,方程没有实数根,此结论反之也成立.如果说方程有实数根,切记此时b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.二、合作探究了解了上述判别规律,我们来进行以下探究:探究一:不解一元二次方程,判断根的情况【例1】不解方程,判断x2-2x+3=0的根的情况.解:Δ=b2-4ac=4-4×1×3=-80,∴原方程无实数根.说明:解此类题时,一般先要把方程化为一般形式求出Δ,然后对Δ进行计算,使Δ的符号明朗化,进而说明Δ的符号情况,得出结论.探究二:根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围【例2】已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:a=k,b=2k-1,c=k+2,Δ=b2-4ac=(2k-1)2-4k(k+2)=-12k+1∵方程有两个不相等的实数根,∴b2-4ac0,即-12k+10,k.∴k且k≠0.说明:当二次项系数也含有待定的字母时,要注意二次项系数不能为0,还要注意题目中待定字母的取值范围.探究三:证明字母系数方程有无实数根【例3】求证方程x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.证明:Δ=[-(m+2)]2-4(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4无论m取何值都有(m-2)2+40,即Δ0.所以无论m取何值,方程有两个不相等的实数根.说明:此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出Δ,如果不能直接判断Δ情况,就利有配方法把Δ配成含有完全平方的形式,根据完全平方的非负性,判断Δ的情况,从而证明出方程根的情况.三、巩固练习1.不解方程,判别方程x2-4x+8=0的根的情况;2.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式为1,求m的值及该方程的根;3.已知m为非负整数,且关于x的方程(m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0有两个实数根,求m的值.四、总结提升本节课应掌握:一元二次方程根的判别式的定义及其运用,为后面学习用公式法解一元二次方程打好基础.五、布置作业教材P17习题21.24、12、13第2课时公式法教学内容1.一元二次方程求根公式的推导过程;2.公式法的概念;3.利用公式法解一元二次方程.教学目标1.知识与技能:理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.2.过程与方法:复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.教学重难点重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式法的推导.教学过程一、教师导学(学生活动)用配方法解下列方程(1)6x2-7x+1=0(2)4x2-3x=52老师点评:(1)移项,得:6x2-7x=-1;二次项系数化为1,得:x2-x=-;配方,得:x2-x+()2=-+()2;(x-)2=;x-=±;x1=+==1;x2=-+==.(2)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).(1)移项;(2)化二次项系数为1;(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.二、合作与探究如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1=,x2=分析:因为前面系数是具体数字方程已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解:移项,得:ax2+bx=-c二次项系数化为1,得x2+x=-;配方,得:x2+x+()2=-+()2;即(x+)2=;∵b2-4ac≥0且4a20;∴≥0;直接开平方,得:x+=±;即x=;∴x1=,x2=由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.【例】用公式法解下列方程.(x-2)(3x-5)=1分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.解:将方程化为一般形式3x2-11x+9=0;a=3,b=-11,c=9;b2-4ac=(-11)2-4×3×9=130;∴x==;∴x1=,x2=三、巩固练习教材P12练习1.(1)、(3)、(5)四、能力展示某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列问题.(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.(2)若使方程为一元一次方程,m是否存在?若存在,请求出.你能解决这个问题吗?五、总结提升本节课应掌握:(1)求根公式的概念及其推导过程;(2)公式法的概念;(3)应用公式法解一元