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等腰三角形1.选择题:等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为()A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对2.如图,ABC是等边三角形,BCBD90CBD,,则1的度数是________。CA1DB233.ABC中,120AACAB,,AB的中垂线交AB于D,交CA延长线于E,求证:BC21DE。AEDOBC124.如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。求证:M是BE的中点。AD1BMCE5.如图,已知:ABC中,ACAB,D是BC上一点,且CADCDBAD,,求BAC的度数。ABCD6.已知:如图,ABC中,ABCDACAB,于D。求证:DCB2BAC。A12DBCE37、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别是垂足。求证:AE=AF。AEFBDC8、如图,ABC中,100AACAB,,BD平分ABC。求证:BCBDAD。AD1B2EFC等腰三角形答案:1.B2.分析:结合三角形内角和定理,计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。解:因为ABC是等边三角形所以60ABCBCAB,因为BCBD,所以BDAB所以23在ABD中,因为60ABC90CBD,所以150ABD,所以152所以75ABC213.分析:此题没有给出图形,那么依题意,应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系,观察图形,考虑取BC的中点。证明:过点A作BC边的垂线AF,垂足为F。4、分析:欲证M是BE的中点,已知DM⊥BC,所以想到连结BD,证BD=ED。因为△ABC是等边三角形,∠DBE=21∠ABC,而由CE=CD,又可证∠E=21∠ACB,所以∠1=∠E,从而问题得证。证明:因为三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点所以∠1=21∠ABC又因为CE=CD,所以∠CDE=∠E所以∠ACB=2∠E即∠1=∠E所以BD=BE,又DM⊥BC,垂足为M所以M是BE的中点(等腰三角形三线合一)5、分析:题中所要求的BAC在ABC中,但仅靠ACAB是无法求出来的。因此需要考虑DBAD和CADC在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形,构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解:因为ACAB,所以CB因为DBAD,所以CDABB;因为CDCA,所以CDACAD(等边对等角)而DABBADC所以BDACBADC22,所以B3BAC又因为180BACCB即180B3CB所以36B即求得108BAC说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用,这一点在后边的解题中将进一步体现。2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3.此题是利用方程思想解几何计算题,而边证边算又是解决这类题目的常用方法。6、分析:欲证角之间的倍半关系,结合题意,观察图形,BAC是等腰三角形的顶角,于是想到构造它的一半,再证与DCB的关系。证明:过点A作BCAE于E,ACAB所以BAC2121(等腰三角形的三线合一性质)因为90B1又ABCD,所以90CDB所以90B3(直角三角形两锐角互余)所以31(同角的余角相等)即DCB2BAC说明:1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线;2.对线段之间的倍半关系,常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法,对角间的倍半关系也同理,或构造“半”,或构造“倍”。因此,本题还可以有其它的证法,如构造出DCB的等角等。7、证明:因为ACAB,所以CB又因为ACDFABDE,所以90CFDBED又D是BC的中点,所以DCDB所以)AAS(CFDDEB所以CFBE,所以AFAE说明:证法二:连结AD,通过AEDAFD证明即可8、分析一:从要证明的结论出发,在BC上截取BDBF,只需证明ADCF,考虑到21,想到在BC上截取BABE,连结DE,易得,则有FDAD,只需证明CFDE,这就要从条件出发,通过角度计算可以得出DEDFCF。证明一:在BC上截取BDBFBABE,,连结DE、DF在ABD和EBD中,BDBD21BEBA,,80DEF100ABEDDEAD)SAS(EBDABD,又100AACAB,40)100180(21CABC20402121而BFBD80)20180(21)2180(21BDFBFDADBDFCBFBCFCDFDEADFCDFCFDC404080CDFEFDC40C80DFEDFDE80DFEDEF,即BCBDAD分析二:如图,可以考虑延长BD到E,使DE=AD,这样BD+AD=BD+DE=BE,只需证明BE=BC,由于202,只需证明80BCEEADE1B2FC3456易证6020100180ADBEDC,120BDC,故作BDC的角平分线,则有FBDABD,进而证明DFCDEC,从而可证出80E。证明二:延长BD到E,使DE=AD,连结CE,作DF平分BDC交BC于F。由证明一知:100A2021,则有12060180BDC603660201001803,,DF平分6054BDC606543,在ABD和FBD中43BDBD21,,)ASA(FBDABD100ABFDFDAD,,而DEDFDEAD,在DEC和DFC中,DCDC65DFDE,,)SAS(DFCDEC80100180BFD180DFCE在BCE中,803202,BCEEBCE,80BCBDADBEBC,说明:“一题多证”在几何证明中经常遇到,它是培养思维能力提高解题水平的有效途径,在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会,进一步提高自身的解题能力。
本文标题:等腰三角形习题(含答案)
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