高考数学考点归纳之-圆的方程

高考数学考点归纳之圆的方程一、基础知识1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)❶圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)❷圆心：－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F❶标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为r.❷(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2，－E2；(2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.二、常用结论(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.考点一求圆的方程[典例](1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．[解析](1)根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)法一：几何法设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即2a＋3－22＋a＋32＝2a＋3＋22＋a＋52，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得2－a2＋－3－b2＝r2，－2－a2＋－5－b2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法三：待定系数法设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2，由题意得－D2－2×－E2－3＝0，4＋9＋2D－3E＋F＝0，4＋25－2D－5E＋F＝0，解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.[答案](1)A(2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0[题组训练]1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.x－322＋y2＝254B.x＋342＋y2＝2516C.x－342＋y2＝2516D.x－342＋y2＝254解析：选C法一：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)．由题意得a2＋12＝r2，2－a2＝r2，a2＋－12＝r2，解得a＝34，r2＝2516，所以圆E的标准方程为x－342＋y2＝2516.法二：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则由题意得1＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，1－E＋F＝0，解得D＝－32，E＝0，F＝－1，所以圆E的一般方程为x2＋y2－32x－1＝0，即x－342＋y2＝2516.法三：因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－12＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为34，0.则圆E的半径为|EB|＝2－342＋0－02＝54，所以圆E的标准方程为x－342＋y2＝2516.2．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝3－12＋－2＋42＝22，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝83．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，将P，Q两点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0考点二与圆有关的轨迹问题[典例](1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．[解析](1)设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则x＝x1＋42，y＝y1－22，即x1＝2x－4，y1＝2y＋2，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.(2)设P(x，y)，圆心C(1,1)．因为P点是过点A的弦的中点，所以PA―→⊥PC―→.又因为PA―→＝(2－x,3－y)，PC―→＝(1－x,1－y)．所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.所以点P的轨迹方程为x－322＋(y－2)2＝54.[答案](1)A(2)x－322＋(y－2)2＝54[变透练清]1.变条件若将本例(2)中点A(2,3)换成圆上的点B(1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．解析：设P(x，y)，圆心C(1,1)．当点P与点B不重合时，因为P点是过点B的弦的中点，所以PB―→⊥PC―→.又因为PB―→＝(1－x,4－y)，PC―→＝(1－x,1－y)．所以(1－x)·(1－x)＋(4－y)·(1－y)＝0.所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋y－522＝94；当点P与点B重合时，点P满足上述方程．综上所述，点P的轨迹方程为(x－1)2＋y－522＝94.答案：(x－1)2＋y－522＝942．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[课时跟踪检测]A级1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析：选B直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为()A．1B．2C.2D．4解析：选B由半径r＝12D2＋E2－4F＝124a2＋4b2＝2，得a2＋b2＝2.∴点(a，b)到原点的距离d＝a2＋b2＝2，故选B.3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C．(x－1)2＋y2＝5D．x2＋(y－1)2＝5解析：选A由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x－y＋4＝0的距离d＝|2a－1＋4|5＝|2a－1－6|5，解得a＝1，d＝5，∵直线与圆相切，∴r＝d＝5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.4．(2019·银川模拟)方程|y|－1＝1－x－12表示的曲线是()A．一个椭圆B．一个圆C．两个圆D．两个半圆解析：选D由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－x－12表示的曲线是两个半圆，选D.5．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为()A．(－2，－4)B.－12，－1C．(－2，－4)或－12，－1D．不确定解析：选A∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.配方，得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，此时方程不表示圆．故选A.6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2D．(x－1)2＋y2＝8解析：选A直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.7．圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．解析：设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝－1＋12＝0，b＝2＋42＝3，故圆心C(0,3)．半径r＝12|AB|＝12[1－－1]2＋4－22＝2.∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝28．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，6)在圆C内，则m的取值范围为________．解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝2＋12＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2＜10，解得0＜m＜4.答案：(0,4)9．若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y