中国古代数学史

中国古代数学史古代数学的萌芽•公社末期，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。•原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。仰韶文化时期出土的陶器•商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期。•在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。•春秋战国筹算得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。筹算•中国古代的筹算不仅是正、负整数与分数的四则运算和开方，而且还包含着各种特定筹式的演算。中算家不仅利用筹码不同的“位”来表示不同的“值”，发明了十进位值制记数法，而且还利用筹在算板上各种相对位置排列成特定的数学模式，用以描述某种类型的实际应用问题。例如列衰、盈朒、“方程”诸术所列筹式描述了实际中常见的比例问题和线性问题；天元、四元及开方诸式，则刻画了高次方程问题；而大衍求一术则是为“乘率”而设计的特殊筹式。筹式以不同的位置关系表示特定的数量关系。在这些筹式所规定的不同“位”上，可以布列任意的数码（它们随着实际问题的不同而取不同的数值），因而，中国古代的筹式本身就具有代数符号的性质。可以认为，是一种独特的符号系统。•中国古代的筹算表现为算法的形式，而具有模式化、程序化的特征。中国的筹算不用运算符号，无须保留运算的中间过程，只要求通过筹式的逐步变换而最终获得问题的解答。因此，中国古算中的“术”，都是用一套一套的“程序语言”所描写的程序化算法，并且中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算的步骤之中，起到“不言而喻，不证自明”的作用。可以说“寓理于算”是古代筹算在表现形式上的又一特点。•算筹是在珠算发明以前中国独创并且是最有效的计算工具。中国古代数学的早期发达与持续发展是受惠于筹的•战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于证明和一些命题的争论直接与数学有关。•名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”（无穷大）定义为“至大无外”，“小一”（无穷小）定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。•而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次（相切）、端（点）等等。•墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。•名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。。体系形成•秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。《九章算术》•第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。•第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；•第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致•第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；•第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；•第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。•第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。•第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，勾股定理求解相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。•第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，mn。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况。数学的发展•魏、晋•吴国赵爽注《周髀算经》。•汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。•据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前1世纪）为赵君卿所著。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算刘徽•他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。•刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为157/50和3927/1250。•刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。《九章算术》注•东晋以后，祖冲之父子，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：•计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间；•提出祖暅原理。“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式•提出二次与三次方程的解法。•隋炀帝大兴土木，客观上也促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。•唐初统治者在656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，李淳风等编纂的《算经十书》，他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。•唐中期以后，《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法。数学的繁荣•北宋，1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》。即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃。杨辉秦九韶《数书九章》•全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案；“术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。•此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。•元代主要的成就有李治《测圆海镜》中记载的天元术。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。•宋元时期勾股形解法在有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。•在宋元时期，又一次改革乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现。天元术•天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现在代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。它首先要“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后，通过类似合并同类项的过程，得出一个一端为零的方程。天元术的表示方法不完全一致，按照李冶的记法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可写成如下形式：其中a0，a1，.，an表示方程各项系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字），“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。方程列出后，再按增乘开方法求正实根。穿珠算盘中西方数学的融合•从明代开始西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；•鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；•到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始。•在传入的数学中，影响最大的是《几何原本》其次应用最广的是三角学，介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。•清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。•清康熙《数理精蕴》是一部比较全面的初等数学百科全书。•《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本；•《决疑数学》是第一部概率论译本•由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。•直到1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始。•题目一：百鸡问题今有鸡翁一，值钱五：鸡母一，值钱三：鸡雏三，值钱一。今百钱买鸡百只。问鸡翁，鸡母。鸡雏各几何？题目二：韩信点兵韩信练兵，每三人一列，余一人，每五人一列，余二人。每七人一列，余四人，十三人一列，余六人。问多少士兵？题目三：李白买酒李白街上走。提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中，原有多少酒？题目四：两鼠穿墙今有墙厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍（每天的进度为前一天的两倍），小鼠日自半（每天进度是前一天的一半）问何日相逢？各穿几何？题目五：百羊问题甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，细问甲及一百否？甲云：若得这般一群凑，再加半群小半群。得你一只方来凑。（意思是，再加这么多。然后再加半群，再加四分之一群，再加你的一只，就凑够了一百只）。问甲有多少只羊？