数列综合讲义

SYSU——荣1数列综合讲义前言........02第1讲数列通项........061.1公式法........071.2累加法........071.3累乘法........081.4差商法........081.5构造辅助数列........09第2讲数列求和........102.1公式法........122.2倒序相加........122.3分组球和........132.4裂项求和........132.5错位相减........152.6等差绝对值求和........162.7奇偶幷项求和........16第3讲数列的通项与求和综合.........17第4讲数列的性质..........214.1单调性........224.2数列的最值........244.3奇偶（性）幷项........274.4周期性........28第5讲简单的数列不等式证明..........29第6讲存在性问题（整除问题）.........31第7讲创新型问题.........33第8讲数阵问题（数列群）.........35第9讲数列与其他知识综合.........36第10讲(extra)放缩法证明数列求和不等式.........38SYSU——荣2前言【高考命题规律】年份题号题型考查内容思想方法分值2011年理：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想12分文：6选择题等差数列的基本公式方程组思想5分文：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想10分2012年理：5选择题等比数列的性质方程组思想5分理：16填空题数列的周期性利用周期性求和5分文：12选择题数列的周期性利用周期性求和5分文：14填空题等比数列前n项和方程思想5分2013年理：7选择题等差数列前n项和方程思想5分理：12选择题与三角形的综合应用判断数列的增（减）性特殊、比较5分理：14填空题由na与nS关系求an比差法5分文：6选择题等比数列通项、前n项和方程思想5分文：17解答题等差数列通项、前n项和方程组、列项相消12分2014年理：17解答题由na与nS关系判定及证明比差法12分文：17解答题等差数列通项前n项和及一元二次的解法，乘公比错位相消方程组12分2015年理:17解答题由na与nS关系求通项；前n项和换元法，裂项相消法12分文:7选择题等差数列：基本量求某一项；方程思想5分文:13填空题等比数列：基本量求项数方程思想5分2016年理：3选择题等差数列，基本量求某一项方程思想5分理：15填空题等比数列，累积求最值函数思想5分文：17解答题等差数列通项公式，等比数列前n项和nS赋值，利用公式求和12分2017年理：4选择题等差数列，基本量求公差方程思想5分理：12选择题数列分群问题等比数列求和5分文：17解答题等比数列求通项，判定等差方程思想12分纵观全国Ⅰ卷的数列试题，我们可以发现，全国Ⅰ卷的数列题注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点。从2011年至2017年，全国Ⅰ卷理科试题共考查了12道数列题，其中9道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。而文科试题共考查了11道数列题，其中9道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。SYSU——荣3【基础知识】一、等差等比对比类型项目等差数列等比数列定义1(1)nnaadn1nnaqa中项（,,aAb）2abA2abA通项公式1(1)=()nmaandanmd11nnmnmaaqaqmnpqmnpqaaaamnpqaaaa232,,mmmmmSSSSS成公差为2md的等差数列成公比为mq的等比数列nS122pqnnaaaaSnn或1(1)2nnnSnad1111(1)111nnnnaqSaaqaqqqq或单调性00dd单调递增：单调递减：11110,1(1,2,4,8)0,01(8,4,2,1)0,01(8,4,2,1)0,1(1,2,4,8)aqaqaqaq单调递增单调递减二、等差等比补充等差数列篇：1、判定：①1(1)nnaadn；1(2)nnaadn；②112(1)nnnaaan（等差中项法）③naknb，11(1)222pqnnaaaannSnnnad，2nSAnBn（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）SYSU——荣42、函数的观点看数列（i）111naanddnad，所以该通项公式可看作na关于n的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。（ii）21111()222nnndSnadnadn，即nS是关于项数n的二次函数，且不含常数项，可记为2nSAnBn的形式。从而可将nS的变化规律图像化3、数列{}nSn也是等差数列4、若两个等差数列{},{}nnab的前n和分别为,nnST，则2121nnnnaSbT5、奇偶数项问题（会自行推导）项数为2n项：SSnd奇偶项数为21n项：nSSa奇偶等比数列篇：1、判定：①1nnaqnNa②对于nN，均有212nnnaaa（等比中项法）③nnakq（指数类函数）111(1)111nnnnaqaaSqkqkqqq（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）2、函数的观点看数列等比数列na的通项公式111(0)nnaaqaq还可以改写成1nnaaqq，当0q且10a时，xyq是一个指数函数，而1xayqq是指数型函数.因此等比数列na的点列()，nna分布在指数型函数1xayqq的图像上，即等比数列na的图像是函数1xayqq的图像上的一群孤立点SYSU——荣5三、数列的周期性类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{na，如果存在一个常数T)(NT，使得对任意的正整数0nn恒有nTnaa成立，则称数列}{na是从第0n项起的周期为T的周期数列。若10n，则称数列}{na为纯周期数列，若20n，则称数列}{na为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期常见周期如下所列：（1）21Tsaann21Tsaann1121nnnaaTa特别地，1,2nnnxayaxbTkab（2）123nnnaaasT123nnnaaasT1131nnaTa1113nnaTa（3）1141nnnaaTa1121nnnaaTa1141nnnaaTa（4）216nnnaaaT111331363313nnnnnaaaTaa（类比tantan6tan()61tantan6）四、几个常见的求和公式（1）1(1)2ninni（2）21(1)(21)6ninnni（3）321(1)[]2ninniSYSU——荣6第1讲数列通项【高考真题】（2016全国Ⅰ卷文）已知{}na是公差为3的等差数列，数列{}nb满足1211,3bb，11nnnnabbnb，则{}na的通项公式是na_________（2015全国Ⅰ卷）nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，2nnaa=43nS则{}na的通项公式为______________（2013全国Ⅰ卷文）已知等差数列{}na的前n项和nS满足350,5SS，则{}na的通项公式是na_________（2013全国Ⅰ卷理）若数列{}na的前n项和2133nnSa，则{}na的通项公式是na_________（2010全国Ⅰ卷理）设数列{}na满足21112,32nnnaaa，则{}na的通项公式是na_________（2009全国Ⅰ卷文）设等差数列{}na的前n项和为nS，公比是正数的等比数列{}nb的前n项和为nT.已知1133331,3,17,12ababTS，求{},{}nnab的通项公式（2007全国卷Ⅰ文）设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab，求{}na、{}nb的通项公式（2005全国卷Ⅰ文）设正项等比数列na的首项211a，前n项和为nS，且10103020102(21)0SSS，则{}na的通项公式是na_________SYSU——荣71.1公式法①等差比通项公式②万能公式11,(1),(2)nnnSnaSSn注意通项能否合并（2017.12化州二模）已知nS为数列}{na的前n项和，且1)1(log2nSn，则数列}{na的通项公式为（2016.9广东适应性考试）已知数列}{na的各项均为正数，nS为其前n项和，且对任意*Nn，均有na、nS、2na成等差数列，则na1.2累加法形如)(1nfaann型的递推数列例：数列{}na满足：11a，且121nnnaa，求na（2017.04武汉调研）已知数列{}na满足11a，312a，若),2(3)2(1111Nnnaaaaannnnn，则数列}{na的通项na（）（A）121n（B）121n（C）131n（D）1211n（2017河北衡水六调改）若数列{}na满足11a，且对于任意的*nN都有11nnaan，则122018111...aaa___________SYSU——荣81.3累乘法形如1()nnaafn1()nnafna型的递推数列例：已知数列{}na满足：11a，且11nnnana，求na变式：设{}na是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,...)nnnnnanaaai，则na_________1.4差商法（2017.12广州调研）已知数列na满足211234444nnnaaaaL*nN．求数列na的通项公式已知数列na中，11a，对所有*nN且2n时都有2123...naaaan，求naSYSU——荣91.5构造辅助数列类型1：形如qpaann1（其中,pq均为常数且0p）类型2：形如1()nnapafn(1)p类型3：形如1nnnmaapaq类型4：形如21nnnapaqa特别地，当1pq时，便是著名的兔子数列，也就是斐波那契数列，其通项可通过特征根方程求得51515[()()]522nnna类型5：形如1(0,0)qnnnapapa1、（2017.10惠州二调）已知数列na满足)(22,111Nnaaannn，则数列na的通项公式为na变式1：已知数列na满足)(32,111Nnaaannn，则数列na的通项公式为na变式2：已知数列na满足)(12,111Nnaaann，则数列na的通项公式为na变式3：已知数列na满足)(2,111Nnnaaann，则数列na的通项公式为na2、（2017云南师大附中月考）已知数列na满足12a，且*112(2,)1nnnnaannNan，则na__________3、设数列na满足：121,2aa，且对于其中任意三个连续的项11,,nn