计量经济学例题解答

计量经济学例题讲解例1（一元线性回归模型）令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为：µββ++=educkids10（1）随机扰动项µ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。解答：（1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。有些因素可能与增长率水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。（2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设4不满足。例2（一元线性回归模型）已知回归模型µβα++=NE，式中E为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N为所受教育水平（年）。随机扰动项µ的分布未知，其他所有假设都满足。（1）从直观及经济角度解释α和β。（2）OLS估计量αˆ和满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。βˆ（3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。解答：（1）Nβα+为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。当N为零时，平均薪金为α，因此α表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。β是每单位N变化所引起的E的变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加值。（2）OLS估计量αˆ和仍满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的的成立无需随机扰动项βˆµ的正态分布假设。（3）如果tµ的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为t检验与F检验是建立在µ的正态分布假设之上的。例3（一元线性回归模型）对于人均存款与人均收入之间的关系式tttYSµβα++=使用美国36年的年度数据得到如下估计模型，括号内为标准差：)011.0()105.151(067.0105.384ˆttYS+=第1页共10页计量经济学例题讲解2R＝0.538023.199ˆ=σ（1）β的经济解释是什么？（2）α和β的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？（3）对于拟合优度你有什么看法吗？（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？解答：（1）β为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此α符号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期β的符号为正。实际的回归式中，β的符号为正，与预期的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与由于模型的错误设定形造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度，表明收入的变化可以解释储蓄中53.8%的变动。（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量情形下在零假设下t分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。例4（一元线性回归模型）假定有如下的回归结果：，其中，Y表示美国的咖啡的消费量（每天每人消费的杯数），X表示咖啡的零售价格（美元/杯），t表示时间。要求：ttXY4795.06911.2−=∧（1）这是一个时间序列回归还是横截面序列回归？做出回归线；（2）如何解释截距的意义，它有经济含义吗？如何解释斜率？（3）能否求出真实的总体回归函数？（4）根据需求的价格弹性定义：弹性=斜率×（X/Y），依据上述回归结果，你能求出对咖啡需求的价格弹性吗？如果不能，计算此弹性还需要其他什么信息？解答：⑴横截面序列回归。图形略。第2页共10页计量经济学例题讲解⑵截距2.6911表示咖啡零售价在t时刻为每磅0美元时，美国平均咖啡消费量为每天每人2.6911杯。它没有经济意义。斜率-0.4795表示咖啡售价与其销售量负相关，在时刻t,若售价每上升1美元/磅,则平均每天每人消费量会减少0.4795杯。⑶不能求出真实的总体回归函数。⑷不能，因为同一条消费曲线上的不同点的价格弹性使不相同的。要求咖啡需求的价格弹性，必须确定具体的X值及其与之对应的Y值。例5（一元线性回归模型）依据美国1970年～1983年的数据，得到如下的回归结果：)()0001.10()2197.0()(9912.00863.84723.78721−==+−=tRMGNPtt其中，GNP是国民生产总值（单位亿美元），是货币供给（单位百万美元）1M（1）填充括号内缺省的参数。（2）货币学家认为：货币供给对有显著影响，你如何检验这个假设？GNP（3）负的截距有什么意义？（4）假定1984年为552亿美元，预测该年平均的。1MGNP解答：（1）78.746436.8061（2）对于模型tttMGNPεββ++=121，要检验货币供给是否对GNP有显著影响，即要检验回归参数2β的显著性，步骤如下：①提出原假设0:20=βH备择假设0:21≠βH②计算统计量8061.362197.00863.8==t③给定显著性水平05.0=α，查表得临界值为2.179④判断：由于36.80612.179，所以拒绝原假设，接受，即货币供给对GNP有显著影响。0H1H从另一方面看，表明货币供给解释了国民生产总值变动的99％，两者高度相关。9912.02=R（3）负的截距-787.4723表明当某时期货币供给为0时，购买生产总值为-787.4723亿美元。它第3页共10页计量经济学例题讲解没有实际经济意义。（4），即预测1984年平均的为3676.1653亿美元。3676.16535528.0863-787.4723ˆ1984=×+=PGNGNP例6（多元线性回归模型）某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程：fedumedusibsedu210.0131.0094.036.10++−=R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。问（1）sibs是否具有预期的影响？为什么？若medu与fedu保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs增加多少？（2）请对medu的系数给予适当的解释。（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？解答：（1）预期sibs对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。（2）medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。（3）首先计算两人受教育的年数分别为10.36+0.131×12+0.210×12=14.45210.36+0.131×16+0.210×16=15.816因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364例7（多元线性回归模型）下表给出三变量模型的回归结果：方差来源平方和（SS）自由度（d.f.）平方和的均值(MSS)来自回归65963.018－—来自残差———总离差(TSS)66042.26914要求：（1）样本容量是多少？（2）求RSS？（3）ESS和RSS的自由度各是多少？（4）求2R和2R？（5）检验假设：和对Y无影响。你用什么假设检验？为什么？2X3X（6）根据以上信息，你能否确定和各自对Y的贡献吗？2X3X第4页共10页计量经济学例题讲解解答：（1）n=15（2）RSS=TSS-ESS=77（3）ESS:d.f=14-12=2，RSS:d.f=15-3=12（4）9986.011)1(1,9988.0/222=−−−−−===knnRRTSSESSR（5）采用联合假设检验，因为这样才能表明两个解释变量一起是否对Y有影响。（6）不能因为回归解释的是共同对Y的影响。32,XX例8（多元线性回归模型）考虑以下预测的回归方程：tttRSFY33.510.0120ˆ++−=50.02=R其中：——第t年的玉米产量（蒲式耳/亩）tYtF——第t年的施肥强度（磅/亩）tRS——第t年的降雨量（英寸）要求回答下列问题：（1）从F和对Y的影响方面，说出本方程中系数和的含义；RS10.033.5（2）常数项是否意味着玉米的负产量可能存在？120−（3）假定Fβ的真实值为，则估计值是否有偏？为什么？40.0（4）假定该方程并不满足所有的古典模型假设，即并不是最佳线性无偏估计值，则是否意味着RSβ的真实值绝对不等于？为什么？33.5解答：⑴在降雨量不变时，每亩增加一磅肥料将使第t年的玉米产量增加0.1蒲式耳/亩；在每亩施肥量不变的情况下，每增加一英寸的降雨量将使第年的玉米产量增加5.33蒲式耳/亩；t⑵在种地的一年中不施肥、也不下雨的现象同时发生的可能性极小，所以玉米的负产量不可能存在；⑶如果Fβ的真实值为0.40，并不能说明0.1是有偏的估计，理由是0.1是本题估计的参数，而0.40是从总体得到的系数的均值。⑷不一定。即便该方程并不满足所有的古典模型假设、不是最佳线性无偏估计值，也有可能得出的估计系数等于5.33。例9（多元线性回归模型）假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个学年收集数据，得到两个可能的解释性方程：第5页共10页计量经济学例题讲解方程A：3215.10.10.150.125ˆXXXY+−−=75.02=R方程B：4217.35.50.140.123ˆXXXY−+−=73.02=R其中：Y——某天慢跑者的人数1X——该天降雨的英寸数2X——该天日照的小时数3X——该天的最高温度（按华氏温度）4X——第二天需交学期论文的班级数请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？（2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号？解答：⑴方程B更合理些。原因是：方程B中的参数估计值的符号与现实更接近些，如与日照的小时数同向变化，天长则慢跑的人会多些；与第二天需交学期论文的班级数成反向变化，这一点在学校的跑道模型中是一个合理的解释变量。⑵解释变量的系数表明该变量的单位变化在方程中其他解释变量不变的条件下对被解释变量的影响，在方程A和方程B中由于选择了不同的解释变量，如方程A选择的是“该天的最高温度”而方程B选择的是“第二天需交学期论文的班级数”，由此造成与这两个变量之间的关系不同，所以用相同的数据估计相同的变量得到不同的符号。2X例10（多元线性回归模型）已知数据如下表：y1x2x11232183-3要求：（1）先根据表中数据估计以下回归模型的方程（只估计参数不用估计标准差）：iiiuxy1110++=ααiiiuxy2220++=λλiiiiuxxy+++=22110βββ（2）回答下列问题：11βα=吗？为什么？22βλ=吗？为什么？解答：(1)iixy15.33ˆ+−=第6页共10页计量经济学例题讲解iixy