§3.1.5--空间向量运算的坐标表示导学案

新惠六中导学案高中数学选修2-1第3章编写：王文辉编写日期2013年4月8日班级：姓名：1§3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标1、类比平面向量的运算的坐标表示推导空间向量运算的坐标表示；2、掌握空间向量的坐标运算规律，会根据向量的坐标判定两个向量垂直、平行；3、利用空间向量的坐标解决一些立体几何中的问题.重点：空间向量运算的坐标表示；难点：利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角.学习过程（预习教材P95~P96，找出疑惑之处）一、复习回顾（平面向量坐标运算）1、平面向量的直角坐标运算⑴已知a=(1x,1y)，b=(2x,2y)，则ab=(，)；a=(，)；ba=；⑵设),,(),,(2211yxByxA则AB(，)（向量终点坐标减去起点坐标）.2、平面向量平行与垂直的条件⑴a//b⇔a＝λb⇔；⑵a⊥b⇔ab=0⇔.3、向量的长度公式⑴向量的长度（模）设(,)xya，则aaa2或a.⑵平面内两点间的距离公式设),(11yxA、),(22yxB则ABABAB||.4、向量的夹角公式设a=(1x,1y)，b=(2x,2y)，则bababa,cos=.类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示,请同学们结合教材进行证明.二、新课探究（空间向量坐标运算）1、空间向量的直角坐标运算⑴设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则ab＝(，，)；a＝(，，)()R；a·b＝.⑵设),,,(),,,(222111zyxBzyxA则AB(，，).2、空间向量平行与垂直的条件若a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则⑴a∥b（b≠0）⇔a＝λb⇔a1＝，2a＝，3a＝(λ∈R)；如果b与三条坐标轴都不平行时，则有a∥b⇔（对应坐标成比例）⑵a⊥b⇔ab=0⇔.3、向量的长度公式⑴向量的长度（模）设),,(zyxa，则aaa2或a.⑵空间两点间的距离公式设),,,(),,,(222111zyxBzyxA则ABABAB||=ABd.4、向量的夹角公式设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则bababa,cos=.练一练：1、已知)4,1,0(),2,1,2(ba，求：⑴a＋b=；⑵a－b=；⑶2a=；⑷a·b=；⑸2a·（-b）=；⑹（a＋b）·（a-b）=.2、已知),,2,4(),3,1,2(xba若ba，则x=；若a∥b，则x=.3、已知向量),,,3(),5,4,2(yxba若a∥b，则x=，y=.4、向量a=（1,2,3），则向量a的模是.5、已知(1,2,7),(3,10,9)AB,则线段AB的中点M的坐标为_____________，AB=.三、合作探究探究一：空间向量的坐标运算例1.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.急流只有遇见断崖才有瀑布的壮观，雄鹰只有飞上蓝天才能看见大地的辽阔。2探究二：利用空间向量求异面直线的夹角例2.如图,在正方体1111ABCDABCD中，点11,EF分别是1111,ABCD的一个四等分点，求1BE与1DF所成的角的余弦值．变式：如图，正方体1111ABCDABCD中，点M是AB的中点，求1DB与CM所成角的余弦值.探究三：利用数量积证明线线垂直例3.如图，正方体1111ABCDABCD中，点E,F分别是111,BBDB的中点，求证：1EFDA.四、学后反思五、走向高考1、(2010全国Ⅰ)直三棱柱111ABCABC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于（）A．30°B.45°C.60°D.90°2、（08海南）已知向量(0,1,1),(4,1,0),29,abab且＞0，则=_____________六、当堂检测1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是（）A.1B.51C.53D.572.已知1,2,,,1,2aybx，且(2)//(2)abab，则（）A.1,13xyB.1,42xyC.12,4xyD.1,1xy3.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2012陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111CBAABC，CBCCCA21，则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为（）A.55B.35C.552D.535．已知(1,1,),(2,,)atttbtt，则ba的最小值是（）A．55B.555C.355D.1156.与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是___________7.已知(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5),ABC则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是_____________8.若(,2,2),(2,3,5)axb的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_______________.9.与向量a=(2,1,2)共线且满足方程18ax的向量x是.10.已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若AP→＝2PB→，则|PD→|的值是______．11.如图，正方体1111ABCDABCD中，点M,N分别为棱11,AABB的中点，求CM和1DN所成角的余弦值.12.在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是BDDD,1的中点，G在棱CD上，且CDCG41，H为C1G的中点。（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长。FEC1B1A1D1DABCMABCDA1D1C1B1NMABCDA1D1C1B1F1E1C1B1A1D1DABC