北师大版八年级数学上册第5章-二元一次方程组(培优试题)

第五章二元一次方程组5.1认识二元一次方程组专题二元一次方程组解的规律探究1.下表反映了按一定规律排列的方程组和它们的解的对应关系：方程组的序号方程组1方程组2方程组3…方程组n（n为正整数）方程组4232yxyx，16452yxyx，36672yxyx，…()()方程组的解()()34yx，56yx，…()()（1）写出方程组1的求解过程；（2）请依据方程组和它们的解的变化规律，直接写出方程组n和它的解．（n为正整数）2.下列是按一定的规律排列的方程组和它的解的解集的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左向右依次记作方程组1，方程组2，方程组3，…，方程组n.（1）将方程组1的解填入图中；（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中（注意：1-n2=(1+n)(1-n)；（3）若方程组161myxyx，的解是，，910yx求m的值，并判断该方程组是否符合题中的规律．答案：1．解：（1）2x＋y＝3①x-2y＝4②，由②得x=2y+4．③把③代入①，得2(2y+4)+y=3．解得y=-1．把y=-1代入③,得x=2．所以方程组1的解为.12yx，（2）方程组n为,42,1222nnyxnyx它的解为.21,2nynx2．解：（1）依次填：1,0.（2）依次填：x+y=1,x-ny=n2,n,1-n.（3）∵方程组161myxyx，的解是，，910yx∴10+9m=16，解得m=32，∵按照题中规律可知：m是16的算术平方根，即m=4，∴矛盾．∴该方程组不符合题中的规律．5.2解二元一次方程组专题解二元一次方程组的探究性问题1.若关于x，y的二元一次方程组102ymxyx，的解均为正整数，m也是正整数，则满足条件的所有m值的和为__________.2.上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组)2(142)1(53，，byxyax并请小方和小龙两位同学到黑板上板演.可是小方同学看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，，23yx小龙同学看错了方程(2)中的b，得到方程组的解为，，12yx你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？请试一试.3．三个同学对问题“若方程组111222axbycaxbyc的解是34xy，求方程组111222325325axbycaxbyc的解.”提出各自的想法.甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是多少？答案：1.6【解析】两式相加，得（m+1）x=12，x=112m，当m=1时，x=6，y=6-2=4；当m=2时，x=4，y=4-2=2；当m=3时，x=3，y=3-2=1；当m=4时，x=512，y=512-2=52；当m=5时，x=2，y=2-2=0；当m=6时，x=712，y=712-2=-72；当m=7时，x=23，y=23-2=21；当m=8时，x=34，y=34-2=32；当m=9时，x=56，y=56-2=54；当m=10时，x=1112，y=1112-2=1110；当m=11时，x=1，y=1-2=-1；当m=12时，x=1312，y=1312-2=1314．可见，满足条件的m值为1，2，3.其和为1+2+3=6．2．解：由题意得方程组，－，14232532ba解得，，41ba代入原方程组，得，，144253yxyx解得.1231yx，3．解：根据方程组解的定义,将34xy代入方程组111222axbycaxbyc,得，，2221114343cbacbxa再根据丙同学的提示，将第二个方程组的两个方程的两边都除以5得，，22211152535253cybxacybxa将11143cbxa,22243cba,代入上面方程组得，，0)251(2)151(30)251(2)151(32211ybxaybxa则当02510151yx，时，不论a1,a2,b1,b2取何值方程组均成立，故知510xy.5.3鸡兔同笼专题图表信息题1.如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数）使得每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数之和均相等．（1）求x，y的值；（2）画图完成此方阵图．2.有三把梯子，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的．每把梯子的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作连接点（如点A）．（1）通过计算，补充填写下表：梯子种类两扶杆总长（米）横档总长（米）连接点数（个）五步梯42.010七步梯九步梯（2）一把梯子的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个连接点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其它因素忽略不计）．现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本．答案：1．解：（1）由题意，得，，xxyxyyxx43223243解得.21yx，（2）如图.2．解：（1）七步梯、九步梯的扶杆长分别是5米、6米；横档总长分别是：21×（0.4+0.6）×7=3.5(米)、21（0.5+0.7）×9=5.4(米)；连接点个数分别是14个、18个.故依次填入:5,3.5,14,6,5.4,18.（2）设扶杆单价为x元/米，横档单价为y元/米，依题意得，，361415.352610124yxyx解得.23yx，故九步梯的成本为6×3+5.4×2+1×18=46.8（元），答：一把九步梯的成本为46.8元．5.4增收节支专题方案设计问题1.某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．”根据以上对话，解答下列问题：（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？2.（2012福建龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：⑴1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？⑵请你帮该物流公司设计租车方案；⑶若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．答案：1．解：（1）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x元，y元．由题意列方程组200425000xyxy，解得900700xy.答：平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为900元，700元.（2）九年级师生共需租金：5×900+1×700=5200（元）.答：共需租金5200元．2．解：⑴设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，根据题意得210211xyxy，解得34xy，故1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．⑵根据题意可得3a+4b=31，b=3134a，使a，b都为整数的情况共有a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1三种情况，故租车方案分别为:○1A型车1辆，B型车7辆；○2A型车5辆，B型车4辆；○3A型车9辆，B型车1辆．⑶设租车费为w元，则w=100a+120b，方案○1租车费为100×1+120×7=940(元)；方案○2租车费为100×5+120×4=980(元)；方案○3租车费为100×9+120×1=1020(元)．故方案（1）最省钱，即租用A型车1辆，B型车7辆．最少租车费为940元.5.5里程碑上的数专题行程问题1.一辆汽车在公路上匀速行驶，司机在路边看到一个里程碑上是一个两位数，行驶一小时后，他看到的里程碑上的数，恰好是第一个里程碑上的数颠倒顺序后的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数，又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零的三位数，那么他第一次看到的两位数是（）A．14B．15C．16D．172.某人在电车路轨旁与路轨平行的路上行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面．假设电车和此人行走的速度都不变（分别为12uu，表示），请你根据下面的示意图，求电车每隔几分钟（用t表示）从车站开出一部？3.甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．答案：1．C【解析】设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶速度为v，根据题意得，，1)10(1001)10(10vyxxyvxyyx解得x=6y.∵xy为1-9内的自然数，∴x=6，y=1；即两位数为16．答：他第一次看到的两位数是16．2．解：根据题意得1211216()2()uuutuuut，解得122uu．3t∴（分钟）．答：电车每隔3分钟从车站开出一部．3．解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则有两种情况：（1）当甲和乙相遇前相距3千米时，依题意得，，)530(2530303)(3yxyx解得.54yx，（2）当甲和乙相遇后相距3千米时，依题意得),530(2530,303)(3yxyx解得.317,316yx答：甲乙两人的速度分别为4km/h、5km/h或316km/h，317km/h．5.6二元一次方程组与一次函数专题二元一次方程组与一次函数关系的应用1.(2012江苏镇江)甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地．如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s(千米)与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离．请结合图象中的信息解决如下问题：(1)分别计算甲、乙两车的速度及a的值；(2)乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙在返回过程中离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．2.小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与原始位置OP（图2）的夹角记为y1度，时针与原始位置OP的夹角记为y2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t分钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象（图3），并求出了y1与t的函数关系式：16(030)6360(3060)ttytt＜≤≤≤.请你完成：（1）求出图3中y2与t的函数关系式；（2）直接写出A、B两点的坐标，并解释这两点的实际意义；（3）若小华继续观察一