北师大版八年级数学上册第7章-平行线的证明(培优试题)

第七章平行线的证明7.1为什么要证明、7.2定义与命题专题推理在实际中的应用1．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.”乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.”丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的祸()A.甲B.乙C.丙D.丁2．如图，在一条街道的两边各有1排房子，每排都有5间，如果标号为G的房子被涂成灰色，要求每一排中相邻的房子不能同色，两排中直接相对的房子也不能是同种颜色，则剩下的7间房子中有__________间的颜色不能被涂成灰色．3．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定满分40分，往下依次为30分、20分、10分和0分共五个评分等级．每个小组分别回答这五个方面的问题，现将A、B、C、D、E五个小组的部分得分列表如下：语文数学外语常识奥运总分名次A组180lB组2C组3D组304E组40205表中（1）每一竖行的得分均不相同（包括单科和总分），（2）C组有4个方面得分相同．求：B、C、D、E组的总分并填表进行检验．答案：1．D【解析】本题可分三种情况进行讨论：①若甲真，则乙假，丙真，丁真，这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；②若甲假，乙真，则丙假，丁真，这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；③若甲假，乙假，则丙真，丁假，这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件．由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．故选D．2．6【解析】第一排未涂颜色的三间房子，均与标号为G的房子相邻，所以均不能被涂成灰色;第二排从左向右数，第一间房子与标号为G的房子相对，所以不能被涂成灰色,第二、四间房子与标号为G的房子相邻，所以不能被涂成灰色,只有第五间房子既不与标号为G的房子相邻也不相对，可以被涂成灰色．所以剩下的7间房子中有6间的颜色不能被除数涂成灰色．3．解：由表格知：E组的总分总E≥6O．五个组的总分为：5×（1O+20+3O+40）=500（分）.若总E=7O，又每一竖行得分不相同，则5组的总分之和≥70+8O+90+100+18O=520≥500，矛盾，总E=60．同理，总D=7O分．故总E=60分，总D=70分，总C=80分，总B=11O分，或总E=60分，总D=7O分，总C=9O分，总B=1OO分．填表对这两种情况分别给予检验（见下表）:语文数学外语常识奥运总分名次A组304O4O4O3O18O1B组O1O303O4011O2C组2O2O20O20803D组1O3O101O1O7O4E组4OOO20O6O5语文数学外语常识奥运总分名次A组30404O4O301801B组1O1O1O3O401OO2C组2O2O2O1O209O3D组03O3OO1O7O4E组40OO2006057.3平行线的判定专题平行线的判定的实际应用1．如图，台球运动中，如果母球P击中边点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹．那么母球P经过的路线BC与PA一定平行．请说明理由．2．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的，你知道什么原因吗？3．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．答案：1．解：∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE，∴∠PAB=180°-2∠BAE．同理，∠ABC=180°-2∠ABE．∵∠BAE+∠ABE=90°，∴∠PAB+∠ABC=360°-2（∠BAE+∠ABE）=180°．∴BC∥PA．2．解：AB与CD平行．理由是：延长AE交DC于M，∵∠AED=90°，∠EDC=55°，∴∠AMD=∠AED-∠EDC=35°，∵∠BAE=35°，∴∠BAE=∠AMD，∴AB∥DC．3．解：（1）如图所示，过C作CM⊥CD交AB与M，则∠DCM=90°，∠MCB=30°，∴CD与CB的夹角为90°+30°=120°；（2）环湖路的长=AB+BC-CD=3km；（3）不能判定DC∥AB．加上的条件可以是：CA平分∠DCB．证明：∵AB=AC，∴∠CAB=∠ACB，∵CA平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DCA=∠CAB，∴DC∥AB．7.4平行线的性质专题与平行线有关的探究题1．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）2．利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．答案：1．解：如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作AB∥PF，∵AB∥PF，∴AB∥CD∥PF，∴PCDCPFPBAAPF,（两直线平行，内错角相等）,∴∠APC=∠PAB+∠PCD．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB-∠PCD；（4）∠PCD=∠PAB+∠APC.2．解：（1）如图，当动点P落在第②部分时,∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；（2）当动点P落在第③部分时,∠PAC=∠APB+∠PBD；当动点P落在第○4部分时，∠PAC=∠APB+∠PBD．证明：如图，∵∠PAC=∠AEB，∠AEB=∠PBD+∠APB，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．7.5三角形内角和定理专题与三角形内角和外角有关的探究题1．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+12A,理由如下:∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，探究2：如图2,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.探究3：如图3，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）答案：1．解：（1）如图，连接CD．在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.（2）无变化．根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；（3）无变化．∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．2．解：（1）探究2的结论：∠BOC=12A.理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线,所以111,222112()12221121(1)122ABCACDACDAABCABOCBOCAA又是ABC的一外角ACD=A+ABC是的一外角（2）探究3的结论：∠BOC=90°－12A