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当前位置:首页 > 高等教育 > 其它文档 > 湘教版九年级数学上册3.4.2相似三角形的性质
相似三角形的判定与性质本课内容本节内容3.4——3.4.2相似三角形的性质两个三角形相似,除了它们的对应角相等,对应边成比例等性质外,相似三角形还有哪些性质呢?动脑筋如图,已知△ABC∽△,AH、分别为对应边BC,上的高,那么吗?AHABAHABABCAHBC.AHABAHAB∴∵△ABC∽,解ABC△∴∠B=∠B.又∠AHB=∠=90°,'AHB∴△ABH∽'.ABH△类似地,我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比.结论相似三角形对应高的比等于相似比.由此得到:例9如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,DE⊥AC,垂足为点E.已知CD=2,AB=6,AC=4,求DE的长.例9例9∵∠A=∠A,∠ACB=∠ADC=90°,在Rt△ABC与Rt△ACD中,解∴△ABC∽△ACD.又CD,DE分别为它们的斜边上的高,.CDABDEAC∴又CD=2,AB=6,AC=4,∴DE=.43.ATABATAB求证:如图,已知△ABC∽△,AT、分别为对应角∠BAC,∠的角平分线.ABCATBAC例10∴∠B=∠,∠BAC=∠.BACB解△ABC∽△ABT',∵又AT、分别为对应角∠BAC,∠的角平分线,BAC'A'T'BAT',∠=BAC=∠∴∠BAT=∠BAC1212∴ABT'.△ABT∽△.ATABATAB∴类似地,我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比.结论相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.由此得到,已知△ABC∽△,若AD、分别为,的中线,那么成立吗?由此你能得出什么结论?ADABADABABCAD△ABCABC△相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.议一议议一议议一议练习已知△ABC∽△DEF,AM,DN分别△ABC,△DEF的一条中线,且AM=6cm,AB=8cm,DE=4cm,求DN的长.1.∴DN=3(cm).又AM,DN分别为它们的斜边上的高,DNDEAMAB,∴∵△ABC∽△DEF,解即.468DN如图,,AD,BE分别是△ABC的高和中线,,分别是的高和中线,且AD=4,=3,BE=6,求的长.2.△ABC∽ABC△BEABC△ADADBE∵解△ABC∽ABC,△即.''364BE''',BEADBEAD∴∴=4.5.''BE动脑筋如图,已知,相似比为k,则S△ABC∶S△的值是多少呢?△ABC∽ABC△ABC因此,ADADBCBC=== ABCA'B'C'SS1212BCADBCAD'=2k.kk分别作BC,边上的高AD,,则AD=k.ADADBC结论相似三角形的面积比等于相似比的平方.由此得到,例11如图,在△ABC中,EF∥BC,S四边形BCFE=8,求S△ABC.AEEB12,EF∥BC,解∵∴△AEF∽△ABC.1,2AEEB又∴1.3AEAB.1=9四边形AEFAEFBCFESSS即∵.8四边形BCFES=.=1AEFS∴∴.9ABCS=.211=()39ABCAEFSS∴例12已知△ABC与的相似比为,且+=91,求△的面积.ABC△A'B'C'S A'B'C'23ABCS即4=9ABCA'B'C'.SS+=91,ABCSA'B'C'S又∴.4+=919A'B'C'A'B'C'SS.=63A'B'C'S∴解的相似比为,23△△ABC和ABC∵224=()=39,ABCA'B'C'SS∴1.证明:相似三角形的周长比等于相似比.练习证明:设△∽△ABC,相似比为k.ABC因为,所以从而ABBCCAABBCCAk.ABCABBCCAABCABBCCAkABBCCAABBCCAk△△()的周长的周长ABkABBCkBCCAkCA,,.2.已知,它们的周长分别为60cm和72cm,且AB=15cm,=24cm,求BC,AC,,的长.△ABC∽ABC△BCACAB解∵△ABC∽△ABC,∴它们的相似比为605726,.5=6ABBCAC==ABBC'AC'即∴在△ABC中,AC=60-15-20=25(cm)..20===30cm5566ACA'C'∴55×24=20cm66BC=B'C'=∴.15===18cm5566ABA'B'有一个直角三角形的边长分别为3,4,5,另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7,则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少?3.解由已知可得这两个直角三角形的相似比为37.∴另一个直角三角形的两条边分别为和428337535=337.另一个直角三角形的周长为∴另一个直角三角形的周长为∴.3528+7=2833另一个直角三角形的面积为.12898××7=233中考试题例如图,在△ABC中,若DE∥BC,,DE=4cm,则BC的长为().A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm1=2ADDBB解由DE∥BC,可知△ADE∽△ABC,所以,即,解得BC=12cm.=DEADBCAB41=3BC结束
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