高中-三角函数一题多问

1三角函数的一题多问26.（北京理15）已知函数6f(x)=4cosxsin(x+)-1。（1）求()fx的最小正周期：（2）求()fx在区间,64上的最大值和最小值；（3）求()fx取得最大值时x的集合；（4）求()f12；（5）求()fx的增区间；（6）试述要得到函数y=()fx的图象，只需将函数sinyx的图象经过怎样变换而得到；（7）求函数()fx的值域；（8）求函数()fx对称轴方程；（9）求函数()fx在区间,02对称中心的坐标；（10）已知函数()yfx（3）图象的一条对称轴是直线x8，求；（11）已知函数()yfx为偶函数（3），求；（12）若()1f23，求cos()3的值；（13）设,,02，()6f265，()1124f21213，求cos()的值；(14)若()fx()0的图象关于点(,)02中心对称，求的最小值；（15）若()1f62，其中(,)02，求sin和tan；（16）若()()11f2f2626，其中(,)02。求sin和tan；2（17）若ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知a=1，b=2，且()11fC262，求cos()AC的值；（18）若不等式()fxm2在,x42上恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）因为6f(x)=4cosxsin(x+)-1cos(sincos)314xxx1221cos22sin32xxxx2cos2sin3sin()22x6所以()fx的最小正周期为（2）因为2x2x64663所以于是，当,2xx626即时，()fx取得最大值2；当,2xx626即时，()fx取得最小值—1.（3）由（1）知()sin()fx22x6当2x6=2k2时，函数()fx取得最大值为2，此时,xkkZ6，所以当函数()fx取得最大值时x的集合为：,xxxkkZ6（4）()f12=sin()22126=sin23=3（5）由,2k2x2kkZ262得,kxkkZ36所以函数()fx单调增区间为,,kkkZ36（6）由（1）知()sin()fx22x6，3将函数sinyx的图象经过如下变换就得到函数()sin()fx22x6的图象。方法一：先平移后伸缩①先把sinyx的图象向左平移6个单位，得到sin()yx6的图象；②把sin()yx6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到sin()y2x6的图象；③把sin()y2x6的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到sin()y22x6的图象。方法二：先伸缩后平移①先将sinyx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到siny2x的图象；②把siny2x的图象向左平移12个单位，得到sin()y2x6的图象；③将sin()y2x6的图象上各点纵坐标伸长为原来2倍（横坐标不变），得到sin()y22x6注意：①要得到sin()y2x6的图象，只需将siny2x的图象（）A向左平移6个单位B向右平移6个单位C向左平移12个单位D向右平移12个单位②要得到函数sinyx的图象，只需将函数cos()yx3的图象（）A向左平移3个单位B向右平移6个单位C向左平移3个单位D向左平移6单位（①D②B）（7）由（1）知()sin()fx22x64∵x∈R，∴sin()12x16，∴()2fx2所以函数()fx的值域为,22（8）由（1）知()sin()fx22x6由2xk62得对称轴方程为kx62（k∈Z）所以函数()fx的对称轴方程为kx62（k∈Z）（9）由2xk6得对称中心的坐标为(,)k0122，k∈Z又,x02，令k01222，解得17k66，由于kZ，所以k1所函数()sin()fx22x6在区间,02上的对称中心坐标为(,)5012（10）由（1）知()sin()fx22x6，所以()sin[()]fx22x6=sin()22x26由2x2k62，得函数()sin()fx22x26的对称轴方程为kx62，（kZ）又()fx的一条对称轴为x8，所以由8k62，得k242，又3，所以24（11）由（1）知()sin()fx22x6所以()sin()fx22x26又()fx为偶函数所以由2k62解得k62，kZ5又3，由k3623解得11k6kZ，所以k=1，所以6（此还可以用函数奇偶性定义进行求解）（12）由（1）知()sin()fx22x6，由()1f23，得sin()122263，即sin()166，cos()sin()323=sin()166（此问还有其他解法）（13）由（1）知()sin()fx22x6由()6f265，得sin[()]6222665，即sin()6225，所以cos35又,02，所以sincos()223115=45由()1124f21213，得sin[()]112422212613，即sin()12x213，所以sin1213又,02，所以cossin()22125111313所以cos()coscossinsin354126351351365（14）由（1）知f(x)=sin()22x6()sin()fx22x26由2x2k62得kx62kZ∴函数的对称中心坐标为(,)k062由已知可得k622∴k32又0∴的最小值为6（15）由（1）知()sin()fx22x6由()1f62得sin[()]122662即cos12226∴(sin)212122∴sin238又(,)02∴sin6x4∴cossin()226101x144，tan61545104（16）由（1）()sin()fx22x6由()()11f2f21226得sin[()]sin[()]11222222126266即sinsin()22所以sincos2所以tan2∵(,)02∴tansinsintan222222112=255（或由sincos2得sincos224所以sin245∵(,)02∴sin255）（17）由（1）()sin()fx22x6由()11fC262得sin[()]1122C2662所以cos1C4sincos()2215C1C144由佘定理得cos22221cab2abC122244∴C=2由正弦定理得sinsin15aC154AC28又ac，∴AC故A为锐角∴cossin()221571188∴cos()coscossinsin7115511ACACAC8484167（18）由（1）()sin()fx22x6∵[,]x42∴272x366∴sin()122x36∴max()fx3min()fx1由()fxm2得()()fx2mfx2∴max()mfx2且min()mfx2即m32且m1∴32m1故m的取值范围为,321