第四章--扭转

第四章扭转Page1上一讲回顾（5）★静不定问题求解思路平衡方程120iNNfFF,,…求解协调方程120jgll,,…jNNgFF*12,,0…物理方程jNjlF静不定度·变形（位移）图（桁架节点、刚体）•先画变形图，根据变形图画受力图★无装配应力与热应力有装配应力与热应力＃优化设计概念协调方程120jgll,,…jg12,,0…其中kktkkl（变形伸长）（热应力伸长）（制造误差）第四章扭转Page2123AF2、一般解法(1)平衡方程（同前）(2)协调方程(3)物理方程(同前)N1N2sinsin0FFFFFFN1N2N3cosco)s0(tll13costll33规律探索：从单纯外载静不定问题到载荷、预应力和热应力耦合静不定问题，求解方程唯一不同：1NF3NF2NFAF3l2l1l第四章扭转Page3，l轴伸长？几度静不定？().shafttubemm01解：由协调方程:.shafttubemmmm401210500由物理方程:4210shafttubeshafttubeEE由平衡方程(设想沿横截面截开):tubetubeshaftshaftAA0.,tubeMPa467shaftMPa28，,lmm50070,EGPatube210,shaftEGPa::,tubeshaftAA61.,mm01不计两端刚性圆盘的厚度，试求筒和轴的应力。例1：:tubeshaftAA6第四章扭转Page4ABDCFaa2()aa例2：刚性梁ABC，拉伸刚度EA钢丝绳过定滑轮D，忽略摩擦及钢丝绳弯曲内力，试求C端位移。1度静不定吗？ABCFNFNF()b解：1.求内力，对A点取矩sinNNFaFaFa33NFF3535绳DB、DC段内力相等，静定问题第四章扭转Page5解：2.求位移，画变形图ABDC()c21ABCFNFNF()bNFF3535ABDCFaa2()aa()NFaaEA125绳的总伸长sin225C点位移aa1133B点位移()()NaFEA1515535由上面三式：第四章扭转Page6l'AoC1CAB1A1Bl例3：正三角形刚性块ABC边长a，各杆长l拉压刚度EI，求ABC转角。1度静不定吗？中心对称，各杆内力相等。解：由刚性块平衡NaFM32NMFa23各杆伸长量NFlMllEAEAa23coslMlEAa43309各顶点位移MlEAOAa4333三角块转角请推广到正多边形的静不定问题第四章扭转Page7第四章扭转§4-1引言§4-2圆轴扭转应力§4-3圆轴扭转强度与动力传递§4-4圆轴扭转变形与刚度计算§4-5非圆截面轴扭转§4-6薄壁杆扭转第四章扭转Page8本章主要研究：圆截面轴的扭转应力与变形圆截面轴的扭转强度与刚度矩形等非圆截面轴扭转薄壁截面轴扭转第四章扭转Page9工程中的扭转问题§4-1引言上图：扭转实验机下图：汽车传动轴第四章扭转Page10FF扭转实例第四章扭转Page11归纳与比较：1、由实例归纳受扭圆轴的外力与变形特征；2、与拉压杆比较。BAMMM第四章扭转Page12外力特征：变形特征：轴：扭转及其特征力偶作用面垂直于杆轴线。称之为扭力偶，扭力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩。各横截面绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。第四章扭转Page131.扭矩与扭矩图扭矩：矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用T表示。符号规定：矢量方向(按右手定则)与横截面外法线方向一致的扭矩为正，反之为负。BAMmmMMAmmxT§4-2扭矩MAmmxT第四章扭转Page14例：画扭矩图。ABC2MM3MAC2M2TMM12TMM2M扭矩图：扭矩随杆轴线变化的图线。在AB和BC段分别切开，分别考察左与右段平衡12TM2TMAB段：BC段：画扭矩图。注意：扭矩图与受扭轴对齐，标注正负号。TxO第四章扭转Page151Txmx2Tml32Tml例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。AB段：BC段：CD段：•试与轴力图比较，考察对应关系。/2ll/2lABDCm3Mmlxx1()Tx2mlml在AB、BC和CD段分别由三截面切开，考察左（或右）段平衡画扭矩图TxO第四章扭转Page16对应拉压问题与轴力图2.扭矩图对应的轴力图ABDCm3Mml/2ll/2lNFql2qlxTx2mlmlq3Fql/2ll/2l第四章扭转Page17321060nPM3.轴的动力传递已知传动构件的转速与所传递的功率，计算轴所承受的扭力矩。AB电机联轴器kWNmr/min9549PMnPM功率：KW力偶矩：N.m角速度260n:(min)nr转速第四章扭转Page18§4-3圆轴扭转应力问题分析与研究思路分析方法：静力学、几何、物理三方面。关键是几何方面：建立单变量的变形协调条件问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T。连续体的静不定问题。合理假设几何方面：实验观测连续体的变形协调条件(数学公式)MMTM12第四章扭转Page19一、试验与假设纵线：倾斜同一角度并保持直线。2.扭转平面假设各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。1.实验观测（动画）这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。第四章扭转Page20二、扭转应力的一般公式取楔形体O1O2ABCD为研究对象微段扭转变形df1.几何方面（截取楔形体，动画）第四章扭转Page211.几何方面（变形公式推导）'tanddadddx'dddaddx由此得其中第四章扭转Page222.物理方面ddxGdGdx考察：扭转切应力分布规律与成正比，垂直于半径第四章扭转Page23AdATPTI3.静力学方面圆轴扭转切应力的一般公式。dAOT2AdGdATdx2pAIdA极惯性矩定义：PdTdxGI扭转角变化率dGdx公式中还有哪些量未被确定？第四章扭转Page24maxPPTRTIIR三、最大扭转切应力OmaxRPPIWR定义：抗扭截面系数maxPTW最大扭转切应力发生在圆轴表面第四章扭转Page252dAd/2442P/22(1)32DdIdDdD3P4(1),16WD•空心圆截面dDd四.极惯性矩与抗扭截面系数•实心圆截面0设4P,32DI3P16DW2pAIdA第四章扭转Page26圆轴扭转应力小结公式的适用范围：扭转变形基本公式：pddTxGI扭转切应力公式：pTI最大扭转切应力：maxpTW物理与静力学三方面研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、圆截面轴；maxp第四章扭转Page27例：画横截面扭转切应力分布示意图。组合轴空心轴OT1R2RT1R2R2G1GOO21()GG第四章扭转Page28ddx10R组合轴扭转切应力分析设平面假设成立所以：2R1R2G1GG22121dGRdxdGRRdx0组合轴21GG第四章扭转Page29作业2版：4-1a,d(画扭矩图)，4，63版：同上2(1)EG注意：第四章扭转Page30上一讲回顾（6）•受扭圆轴的外力特征与变形特征•扭矩的符号（扭矩矢离开截面为正）与扭矩图•圆轴的扭转应力扭转变形基本公式扭转切应力最大扭转切应力适用范围•极惯性矩与抗扭截面系数pdTdxGIpTImaxpTWmaxp44132pDI34116pDWdD第四章扭转Page31§4-4圆轴扭转强度条件与合理设计一、扭转失效与扭转极限应力扭转极限应力扭转屈服应力，塑性材料扭转强度极限，脆性材料sub脆性材料扭断塑性材料扭断第四章扭转Page32maxPmaxTWunmaxpmaxTW二、圆轴扭转强度条件许用切应力：工作切应力：maxPTW等截面圆轴：强度条件：安全因数n塑性材料：=（0.5－0.577）脆性材料：=（0.8－1.0）t[][]与关系详细讨论见第九章第四章扭转Page33思考：是否是愈大愈好？0/R三、圆轴合理截面与减缓应力集中空心轴实心轴dA0R1.合理截面形状maxPmaxTW增大pW第四章扭转Page342.采用变截面轴与阶梯形轴试讨论怎样设计变截面轴和阶梯形轴。3.合理分配载荷减小T措施自行思考。第四章扭转Page35截面尺寸突变配置过渡圆角MMMM4.减小应力集中在截面尺寸突变或急剧改变处，会产生应力集中，因此在阶梯轴交界处，宜配置适当尺寸过度圆角以减小应力集中。第四章扭转Page36§4-5圆轴扭转变形与刚度计算微段dx的扭转变形一、圆轴扭转变形公式相距l的两横截面的扭转角PdTdxGIPTddxGIPllTddxGI长l常扭矩等截面圆轴PTlGI圆轴截面扭转刚度GIp第四章扭转Page37PdTdxGI二、圆轴扭转刚度条件PmaxTGI刚度条件:()/m单位长度许用扭转角：工程常用单位等截面圆轴:PmaxTGIrad/m:扭转角沿轴线的变化率单位dxd/mπ180m/rad1注意注意单位换算:一般传动轴，[]=0.5~1/m第四章扭转Page38例：已知轴的尺寸，，，计算总扭转角，校核强度与刚度解：1、画扭矩图（与轴位置对齐），确定危险截面。xaaaadD3M2MmaABM可能危险截面A、Bx2MMABT2MTxa第四章扭转Page39a4444402M2a32323232TxMaMaMadxDDDDdGGGGxaaaadD3M2MmaABM(分4段计算)2、总扭转角Tx2MMABT2MTxa第四章扭转Page40maxmax334max2:,:11616MMABDD3、强度校核（危险截面A和B）xaaaadD3M2MmaABMx2MMABT2MTxa第四章扭转Page41maxmax444max2:,:13232MMABGDDG4、刚度校核注意单位换算设计轴，可按，分别设计，取较大者xaaaadD3M2MmaABMx2MMABT2MTxa第四章扭转Page42例：分析弹簧应力并建立相应强度条件。FF2D2D弹簧轴线弹簧丝轴线内力分析：弹簧丝的主要内力是什么？有无弯曲内力？第四章扭转Page43例：分析弹簧应力并建立相应强度条件。2FDTFSF2DATFF2D2D弹簧轴线弹簧丝轴线解：1.内力计算假想在任一处由弹簧轴线平面将簧丝切开，取上半部分研究。2SFFFDT第四章扭转Page443.应力修正公式224''4SFFddmax38'PTFDWdmaxmax38'''(1)2FDddDmax384243FDmdm(/)mDdAmax'2SFDFFT2.应力分析扭矩T对应的切应力''剪力Fs对应的切应力总切应力强度条件max[]第四章扭转Page45max602120NTml解：最大扭矩发生在B端（危险截面）lABm例：，均布力偶矩（1）设计实心轴