抽象函数的对称性

..抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期。分段函数的周期：设)(xfy是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(xfyabTbax,,。把)()(abKKTxxfy轴平移沿个单位即按向量)()0,(xfykTa平移，即得在其他周期的图像：bkTakTxkTxfy,),(。bkTa,kTx)(ba,x)()(kTxfxfxf2、奇偶函数：设baabxbaxxfy,,,),(或①若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf②若为偶函数则称)()()(xfyxfxf。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA②对称；关于与点),(),(),(baybxaBybxaA③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy④成中心对称；关于点与函数),()()(baxafybxafyb⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF（2）轴对称：对称轴方程为：0CByAx。①))(2,)(2(),(),(2222//BACByAxByBACByAxAxByxByxA与点关于..直线成轴对称；0CByAx②函数))(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy与关于直线0CByAx成轴对称。③0))(2,)(2(0),(2222BACByAxByBACByAxAxFyxF与关于直线0CByAx成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(xfy与)(xfy图象关于Y轴对称2、奇函数)(xfy与)(xfy图象关于原点对称函数3、函数)(xfy与()yfx图象关于X轴对称4、互为反函数)(xfy与函数1()yfx图象关于直线yx对称..5.函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称推论1:函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0x对称推论2:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称推论3:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性质2若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。说明：（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称推论1、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称推论2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)..③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|6、函数对称性的应用（1）若kyyhxxkhxfy2,2),)(//对称，则关于点（,即kxhfxfxfxf2)2()()()(/nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121（2）例题1、1)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（;2)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（1)1()2121)0,(11)(xfxfxRxxf（）对称：，关于（2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(xfxf。3、若)(),()()2()(xfyxafxafxafxf则或的图像关于直线ax对称。设个不同的实数根，则有nxf0)(naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121.),212(111axxaxkn时，必有当（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论..1、()()fxTfx(0T))(xfy的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期2、()()fxafxb)(xfy的周期为abT3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT25、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT26、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT37、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT28、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT49、)()()2(xfaxfaxf)(xfy的周期为aT610、若.2,)2()(,0pTppxfpxfp则11、)(xfy有两条对称轴ax和bx()ba)(xfy周期)(2abT推论：偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT212、)(xfy有两个对称中心)0,(a和)0,(b()ba)(xfy周期)(2abT推论：奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT413、)(xfy有一条对称轴ax和一个对称中心)0,(b()ba()fx的)(4abT四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1.（1996年高考题）设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当10x时，xxf)(，则)5.7(f等于（-0.5）..（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知)(xf是定义在实数集上的函数，且)(1)(1)2(xfxfxf，,32)1(f求)1989(f的值.23)1989(f。2、比较函数值大小例3.若))((Rxxf是以2为周期的偶函数，当1,0x时，,)(19981xxf试比较)1998(f、)17101(f、)15104(f的大小.解：))((Rxxf是以2为周期的偶函数，又19981)(xxf在1,0上是增函数，且1151419161710，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(ffffff即3、求函数解析式例4.（1989年高考题）设)(xf是定义在区间),(上且以2为周期的函数，对Zk，用kI表示区间),12,12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI上的解析式.解：设1211212),12,12(kxkxkkkx0Ix时，有22)2()2(121,)(kxkxfkxxxf得由)(xf是以2为周期的函数，2)2()(),()2(kxxfxfkxf.例5．设)(xf是定义在),(上以2为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)(xf的解析式.解：当2,3x，即3,2x，4)3(24)3(2)()(22xxxfxf又)(xf是以2为周期的周期函数，于是当2,1x，即243x时，).21(4)1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有).21(4)1(2)(2xxxf4、判断函数奇偶性例6.已知)(xf的周期为4，且等式)2()2(xfxf对任意Rx均成立，..判断函数)(xf的奇偶性.解：由)(xf的周期为4，得)4()(xfxf，由)2()2(xfxf得)4()(xfxf，),()(xfxf故)(xf为偶函数.5、确定函数图象与x轴交